Twierdzenie ergodyczne Birkhoffa – jedno z najważniejszych twierdzeń teorii ergodycznej. Opisuje zachowanie średnich wartości funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue’a przy stosowaniu na danej zmiennej przekształcenia ergodycznego. Nosi nazwisko George’a D. Birkhoffa.

Treść twierdzenia

Niech ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ będzie przestrzenią probabilistyczną oraz niech ${\displaystyle T\colon X\to X}$ będzie przekształceniem zachowującym miarę (${\displaystyle \mu (T^{-1}A)=\mu (A)}$ dla wszystkich ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$) i ergodycznym (${\displaystyle TA=A}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle \mu (A)=0}$ lub ${\displaystyle \mu (A)=1}$). Wówczas, dla dowolnej funkcji ${\displaystyle f\in L^{1}(\mu ),}$

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}f(T^{n}x)=\int _{X}f\;d\mu }$

dla ${\displaystyle \mu }$-prawie wszystkich ${\displaystyle x\in X}$ (tzn. że zbiór ${\displaystyle x\in X,}$ które nie spełniają powyższego warunku, ma miarę równą 0).

Motywacja

Twierdzenie ergodyczne Birkhoffa ma zastosowanie przy wielu problemach. Przedstawmy kilka przykładów. Zakładamy, że ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ jest przestrzenią probabilistyczną, a ${\displaystyle T\colon X\to X}$ zachowuje miarę.

• Niech ${\displaystyle E\in {\mathcal {F}}}$ będzie pewnym zbiorem, który chcemy analizować. Dla ${\displaystyle x\in X,}$ ile spośród elementów zbioru ${\displaystyle \{x,\;Tx,\;T^{2}x,\;\ldots \}}$ będzie należeć do ${\displaystyle E}$?
• Rozważmy ${\displaystyle X}$ będące okręgiem jednostkowym i przekształcenie ${\displaystyle T_{\alpha }(x)=x+\alpha \;({\text{mod}}\;1)}$ dla liczby niewymiernej ${\displaystyle \alpha .}$ Jak wówczas zachowują się wartości ${\displaystyle T^{n}x}$ przy ${\displaystyle n\to \infty }$?
• Twierdzenie Borela o liczbach normalnych. Prawie wszystkie liczby z przedziału ${\displaystyle [0,1)}$ są normalne w systemie binarnym, tzn. częstość występowania cyfry 1 w ich rozwinięciach wynosi ${\textstyle {\frac {1}{2}}.}$

Przekształcenia jednoznacznie ergodyczne

Przekształcenie ${\displaystyle T\colon X\to X}$ nazwiemy jednoznacznie ergodycznym (ang. uniquely ergodic), jeśli istnieje dokładnie jedna miara ${\displaystyle \mu ,}$ którą ${\displaystyle T}$ zachowuje. Udowodnienie, że ${\displaystyle T}$ jest przekształceniem jednoznacznie ergodycznym pozwala z twierdzenia Birkhoffa wyeliminować warunek ${\displaystyle \mu }$-prawie wszystkich elementów ${\displaystyle X}$ i zastąpić go wszystkimi ${\displaystyle x\in X.}$

Twierdzenie. Niech ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$ będzie przestrzenią probabilistyczną i niech ${\displaystyle T\colon X\to X.}$ Przekształcenie ${\displaystyle T}$ jest jednoznacznie ergodyczne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje dokładnie jedna miara ${\displaystyle \mu ,}$ dla której ${\displaystyle T}$ jest przekształceniem zachowującym miarę i taka, że dla dowolnej funkcji ${\displaystyle f\in L^{1}(\mu )}$ zachodzi

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}f(T^{n}x)=\int _{X}f\;d\mu }$

dla wszystkich ${\displaystyle x\in X.}$

Przypisy