Teoria ergodyczna (stgr. εργον, ergon - "praca", οδος, odos - "droga") jest dziedziną matematyki zajmującą się ergodycznymi układami dynamicznymi. W najszerszym rozumieniu, teoria ergodyczna zajmuje się analizą jakościową działań grupowych na przestrzeniach (takich jak topologiczne, metryczne czy rozmaitości). Ważne jest, aby każde działanie zachowywało konkretną strukturę przestrzeni.

Historia

Pojęcie "ergodyczności" jako pierwszy wprowadził Boltzmann, aby opisać hipotezę dotyczącą działania na powierzchni energii potencjalnej. Niech ${\displaystyle H}$ będzie hamiltonianem, typem występującym w mechanice statystycznej. ${\displaystyle H^{-1}(e)}$ jest wówczas powierzchnią energii. Oznaczając przez ${\displaystyle T_{t}(x)}$ stan punktu ${\displaystyle x}$ układu po czasie ${\displaystyle t_{0}+t}$, Boltzmann przypuszczał, że dla każdego ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ i ${\displaystyle x\in H^{-1}(e)}$ orbita ${\displaystyle O_{T_{t}}(x)}$ będzie równa całej powierzchni. Zdanie to nazwał hipotezą ergodyczną. Hipoteza ta okazała się jednak być fałszywa.

W matematyce, pierwsze twierdzenia bliskie ogólnym wynikom ergodycznym dotyczyły rozmieszczenia ciągu ${\displaystyle x_{n}=n\alpha \;({\text{mod }}1)=\{n\alpha \}}$ (część ułamkowa) dla ${\displaystyle \alpha }$ niewymiernej w przedziale ${\displaystyle (0,1)}$. Powiemy, że ${\displaystyle (x_{n})}$ jest rozmieszczony jednostajnie na ${\displaystyle (0,1)}$, jeśli dla dowolnych ${\displaystyle a,b\in [0,1]}$, ${\displaystyle a<b}$ zachodzi

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {|\{n\in [1,N]\cap \mathbb {N} \;\colon \;x_{n}\in (a,b)\}|}{N}}=b-a}$.

W latach 1909-1910 Bohl, Sierpiński i Weyl udowodnili niezależnie od siebie jednoznaczne rozmieszczenie ciągu ${\displaystyle x_{n}=n\alpha \;({\text{mod }}1)}$. Pierwsze dowody były elementarne, korzystały jedynie z analizy fourierowskiej. Niedługo później, w 1916 Weyl sformułował twierdzenie mówiące, że dowolny ciąg ${\displaystyle (x_{n})}$ o wyrazach w przedziale ${\displaystyle [0,1)}$ jest rozmieszczony jednostajnie wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej funkcji ${\displaystyle f\colon [0,1]\to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle f(0)=f(1)}$ całkowalnej w sensie Riemanna zachodzi

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}f(x_{n})=\int _{0}^{1}f(x)dx}$.

Twierdzenie to ma faktyczny charakter ergodyczny - szereg po lewej stronie możemy traktować jako "średnią w czasie", a całkę po prawej jako "średnią w przestrzeni". Funkcja ${\displaystyle f}$ ma okres równy 1. Zgodnie z teorią Fouriera, każdą funkcję okresową można wyrazić jako kombinacja liniowa specjalnych funkcji okresowych ${\displaystyle e^{2\pi imx}}$ dla ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} }$. Weyl skorzystał z tej obserwacji, aby poprzedni warunek zastąpić przez

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}e^{2\pi imx_{n}}=0}$

dla dowolnego ${\displaystyle m\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}}$. Powyższe pozwoliło mu udowodnić kolejne twierdzenie.

Twierdzenie (Weyla o jednostajnym rozmieszczeniu wielomianów). Niech ${\displaystyle p(x)=\alpha _{k}x^{k}+\alpha _{k-1}x^{k-1}+\ldots +\alpha _{1}x+\alpha _{0}}$ będzie danym wielomianem o współczynnikach rzeczywistych. Jeśli przynajmniej jeden ze współczynników ${\displaystyle \alpha _{k},\alpha _{k-1},\ldots ,\alpha _{1}}$ jest niewymierny, to ciąg ${\displaystyle (p(n)\;({\text{mod }}1))}$ jest rozmieszczony jednostajnie na ${\displaystyle (0,1)}$.

W 1931 r. Koopman opublikował krótki artykuł o znaczących obserwacjach. Jeśli ${\displaystyle T\colon X\to X}$ jest odwracalne i zachowuje miarę w przestrzeni ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}$, to operator ${\displaystyle U}$ zdefiniowany na ${\displaystyle L^{2}(X,{\mathcal {F}},\mu )}$ (przestrzeni funkcji całkowalnych z kwadratem) poprzez ${\displaystyle Uf(x)=f(Tx)}$ jest unitarny. Halmos pisze:

Twierdzenia ergodyczne

Zastosowania

Przypisy