Teoria układów dynamicznych – dziedzina matematyki zajmująca się układami dynamicznymi. Najogólniej mówiąc, jest to nauka o zbiorach, na których możemy zdefiniować pewne przekształcenie. Znajduje ona liczne zastosowania, zarówno w naukach stosowanych jak i w matematyce teoretycznej.

Poddziały

Teoria chaosu

Teoria chaosu opisuje układy dynamiczne, które są szczególnie wrażliwe na warunki początkowe (potocznie bywa to nazywane efektem motyla). Pomimo że jest to w pełni chaos deterministyczny, tzn. określony jednoznacznie przez warunki początkowe, układy chaotyczne bywają na tyle skomplikowane, że dokładne ustalenie ich zachowania okazuje się być praktycznie niemożliwe.

Dynamika topologiczna

Dynamika topologiczna zajmuje się topologicznymi układami dynamicznymi.

Dynamika symboliczna

Dynamika symboliczna zajmuje się topologicznymi układami składającymi się z nieskończonych ciągów (odpowiadających stanom układu) i przekształcenia będącego przesunięciem (translacją).

Teoria ergodyczna

Teoria ergodyczna zajmuje się własnościami statystycznymi układów dynamicznych, przede wszystkim - układów ergodycznych. Formalnie, zakładamy zwykle, że przekształcenia w układzie zachowują miarę. Upraszczając. wielkość danego podzbioru całego układu jest "taka sama" przed i po działaniu przekształcenia. Intuicję stojącą za pojęciem ergodyczności można wyrazić tym, że przekształcanie układu dobrze "miesza" jego elementy.

Zastosowania

Teoria liczb

Jednym z najbardziej znanych wyników z teorii liczb udowodnionych z wykorzystaniem układów dynamicznych jest twierdzenie Van der Waerdena. W dowodzie wykorzystuje się twierdzenie Poincarégo o rekurencji. Pierwotny dowód był o wiele trudniejszy i korzystał ze skomplikowanych tożsamości kombinatorycznych.

Przypisy

  1. ↑ Luis Barreira, Claudia Valls, Dynamical Systems, „Universitext”, 2013, DOI: 10.1007/978-1-4471-4835-7, ISSN 0172-5939.
  2. ↑ Stephen H. Kellert, In the wake of chaos: unpredictable order in dynamical systems, wyd. Paperback ed, Science and its conceptual foundations series, Chicago: Univ. of Chicago Press, 1994, ISBN 978-0-226-42976-2 [dostęp 2023-12-08].
  3. ↑ Bailin Hao, Elementary symbolic dynamics and chaos in dissipative systems, Singapore: World Scientific Publ, 1989, ISBN 978-9971-5-0682-7 [dostęp 2023-12-08].
  4. ↑ Peter Walters, An Introduction to Ergodic Theory, „Graduate Texts in Mathematics”, 1982, DOI: 10.1007/978-1-4612-5775-2, ISSN 0072-5285.
  5. ↑ Manfred Einsiedler, Thomas Ward, Ergodic Theory, 2011, DOI: 10.1007/978-0-85729-021-2.

Linki zewnętrzne

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.