Liczby niewymierne – liczby rzeczywiste niebędące wymiernymi, czyli niebędące ilorazami liczb całkowitych, czasem oznaczane różnicą zbiorów: ${\displaystyle \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} }$. Przykłady to:

• pierwiastek kwadratowy z dwójki (${\displaystyle {\sqrt {2}}}$);
• inne pierwiastki arytmetyczne z liczb naturalnych niebędące liczbami naturalnymi, np. ${\displaystyle {\sqrt {99992}}}$;
• liczba pi (π);
• podstawa logarytmu naturalnego (e);
• stała Gelfonda-Schneidera ${\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$;
• ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}}$;
• ${\displaystyle \log _{2}9}$;
• stała Apéry’ego ${\displaystyle A:=\zeta (3):=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}}$.

Rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest nieskończone i nieokresowe. Przez to przykładem liczby niewymiernej jest też 0,123456789101112131415... – konkatenacja zapisów dziesiętnych kolejnych liczb naturalnych.

Dzieje badań

Najstarsze opisy niewymierności pochodzą ze starożytnej Grecji, konkretniej od Pitagorejczyków, którzy wykazali niewymierność liczby ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$. Zauważyli oni, że przekątna kwadratu o boku 1, możliwa do obliczenia twierdzeniem Pitagorasa, jest niewspółmierna z bokiem. Potem udowodniono niewymierność innych stałych:

stała	dowód niewymierności
	data	autor
e	1737	Leonhard Euler
π	1760	Johann Heinrich Lambert
${\displaystyle \zeta (3)}$	1979	Roger Apéry

Własności

• Zbiór liczb niewymiernych jest gęsty i nieprzeliczalny.
• Liczba niewymierna podniesiona do potęgi niewymiernej może być wymierna. Inaczej, istnieją takie liczby niewymierne ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b,}$ że liczba ${\displaystyle a^{b}}$ jest wymierna. Przykłady to:

${\displaystyle {\sqrt {2}}^{\log _{2}9}=2^{{\frac {1}{2}}\log _{2}(3^{2})}=2^{\log _{2}3}=3,}$

${\displaystyle ({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}})^{\sqrt {2}}=({\sqrt {2}})^{({\sqrt {2}}^{2})}=({\sqrt {2}})^{2}=2.}$

• O własnościach niektórych potęg z niewymiernymi wykładnikami mówi twierdzenie Gelfonda-Schneidera.
• Liczba niewymierna do potęgi wymiernej może być wymierna lub nie: ${\displaystyle {\sqrt {2}}^{2}=2\in \mathbb {Q} ,{\sqrt {2}}^{3}=2{\sqrt {2}}\notin \mathbb {Q} }$.
• Każdą liczbę niewymierną można rozwinąć w nieskończony ułamek łańcuchowy; skończone ułamki łańcuchowe przedstawiają liczby wymierne.
• Liczby niewymierne wypełniają luki w przekrojach Dedekinda zbioru liczb wymiernych ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ dając w efekcie przestrzeń zupełną.
• Jako podprzestrzeń linii prostej ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ zbiór liczb niewymiernych jest homeomorficzny z przestrzenią Baire’a, czyli ze zbiorem wszystkich funkcji ${\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} }$.

Zobacz też

• dowód niekonstruktywny
• twierdzenie Gelfonda-Schneidera
• liczba przestępna
• niewspółmierność interteoretyczna

Przypisy