Definicja (dla podciał ciała liczb zespolonych)

Liczbę zespoloną ${\displaystyle z}$ można przedstawić za pomocą pierwiastników, jeśli istnieją liczby zespolone ${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}}$ oraz liczby naturalne ${\displaystyle k_{1},\dots ,k_{n}}$ takie, że kładąc

${\displaystyle K_{0}=\mathbb {Q} }$ (ciało liczb wymiernych), ${\displaystyle K_{i}=K_{i-1}(z_{i})}$ (rozszerzenie ciała ${\displaystyle K_{i-1}}$ o element ${\displaystyle z_{i}}$) dla ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$

będziemy mieli

• ${\displaystyle z_{i}^{k_{i}}\in K_{i-1}}$ dla wszystkich ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$ oraz ${\displaystyle z\in K_{n}.}$

Liczbę ${\displaystyle k=\max\{k_{1},\dots ,k_{n}\}}$ nazywa się stopniem powyższego przedstawienia.

Jeśli powyżej zastąpimy ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ przez pewne ciało ${\displaystyle K\subseteq \mathbb {C} ,}$ to otrzymamy definicję przedstawialności liczby ${\displaystyle z}$ w pierwiastnikach nad ciałem ${\displaystyle K.}$ Jeśli ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (a_{1},\dots ,a_{m}),}$ to powiemy, że ${\displaystyle z}$ jest przedstawialna w pierwiastnikach względem ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{m}}$.

Definicja 2 (ogólniejsza)

Niech ${\displaystyle K}$ będzie ciałem o charakterystyce 0. Element ${\displaystyle a}$ jest pierwiastnikowy względem ciała ${\displaystyle K}$ (albo element a wyraża się przez pierwiastniki względem ciała ${\displaystyle K}$), gdy istnieje ciąg ciał ${\displaystyle K=K_{0}\subset K_{1}\subset \dots \subset K_{r}}$ oraz ${\displaystyle a\in K_{r},}$ dla których zachodzi warunek:

• dla ${\displaystyle i=1,2,\dots ,r}$ ciało ${\displaystyle K_{i}}$ jest ciałem rozkładu wielomianu postaci ${\displaystyle x^{n_{i}}-a_{i}\in K_{i-1}[x].}$

Zbiór elementów pierwiastnikowych względem ciała ${\displaystyle K}$ oznacza się zwykle przez ${\displaystyle r(K)}$ i nazywa domknięciem pierwiastnikowym ciała ${\displaystyle K}$.

Jeśli ${\displaystyle K}$ jest ciałem charakterystyki ${\displaystyle p>0,}$ to powyższy warunek definicji zastępuje się następującym:

• dla ${\displaystyle i=1,2,\dots ,r}$ ciało ${\displaystyle K_{i}}$ jest ciałem rozkładu wielomianu postaci ${\displaystyle x^{n_{i}}-a_{i}\in K_{i-1}[x],}$ gdzie ${\displaystyle p\not \operatorname {|} n_{i},}$ albo wielomianu postaci ${\displaystyle x^{p}-x-a_{i}\in K_{i-1}[x]}$.