Liczby całkowite – zbiór obejmujący liczby naturalne z zerem ${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,3,\dots \}}$ oraz liczby przeciwne do nich: ${\displaystyle \{0,-1,-2,-3,\dots \}}$. Są uogólnieniem liczb naturalnych na zbiór, w którym da się odjąć każdą liczbę od innej.

Zbiór liczb całkowitych oznacza się symbolem ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, od niemieckiego Zahl – liczba. W Polsce Ministerstwo Edukacji Narodowej zaleciło używanie tego oznaczenia, choć w większości szkół podstawowych i średnich stosowano symbol ${\displaystyle \mathbf {C} }$ – inicjał nazwy polskiej.

Uogólnieniem liczb całkowitych są liczby wymierne.

Definicja formalna

Zbiór liczb całkowitych można zdefiniować jako zbiór klas abstrakcji zbioru ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}\times \mathbb {N} _{0}}$ relacji równoważności

${\displaystyle (a,b)\sim (c,d)\iff a+d=b+c.}$

Intuicyjnie ${\displaystyle (a,b)}$ reprezentuje różnicę ${\displaystyle a-b.}$

Niech ${\displaystyle [(a,b)]}$ oznacza klasę abstrakcji, której reprezentantem jest ${\displaystyle (a,b).}$ Wówczas dodawanie i mnożenie w zbiorze ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}\times \mathbb {N} _{0}/\sim }$ definiuje się jako:

${\displaystyle [(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c,b+d)],}$

${\displaystyle [(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac+bd,ad+bc)].}$

Liczby ${\displaystyle [(a,b)],}$ dla których ${\displaystyle a>b}$ nazywamy liczbami całkowitymi dodatnimi;
liczby ${\displaystyle [(a,b)],}$ dla których ${\displaystyle a<b}$ nazywamy liczbami całkowitymi ujemnymi.

Własności

Zobacz też

• aksjomaty i konstrukcje liczb
• liczby całkowite (zapis komputerowy)
• równanie diofantyczne

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Integer, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-02-02].
• Integer (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].