Oktawy Cayleya, oktoniony (łac. octo – osiem), liczby Cayleya – rozszerzenie kwaternionów stanowiące niełączną algebrę. Opisało ją niezależnie dwóch matematyków: John T. Graves w roku 1843 i Arthur Cayley w roku 1845.

Oktoniony są trzecią z kolei po liczbach zespolonych i kwaternionach algebrą powstałą przez zastosowanie konstrukcji Cayleya-Dicksona do liczb rzeczywistych.

Są algebrą 8-wymiarowej przestrzeni liniowej nad ciałem liczb rzeczywistych. Z tego też powodu mogą być traktowane jako ośmioelementowe ciągi liczb rzeczywistych. Oktawa jest kombinacją liniową jedynki i 7 jednostek urojonych tworzących bazę standardową przestrzeni: 1, e1, e2, e3, e4, e5, e6 i e7. Gdzie e1...e7 podniesione do kwadratu dają −1. Działanie dodawania na oktawach jest równoważne dodawaniu wektorów 8-wymiarowej przestrzeni, natomiast działanie mnożenia definiuje poniższa tabela:

· 1 e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7
1 1e1 e2 e3e4 e5 e6e7
e1 e1−1 e4 e7–e2 e6 –e5–e3
e2 e2–e4 −1 e5e1 –e3 e7–e6
e3 e3–e7 –e5 −1e6 e2 –e4e1
e4 e4e2 –e1 –e6−1 e7 e3–e5
e5 e5–e6 e3 –e2–e7 −1 e1e4
e6 e6e5 –e7 e4–e3 –e1 −1e2
e7 e7e3 e6 –e1e5 –e4 –e2−1

Kolejność w mnożeniu to wiersze (ei) – kolumny (ej). Stąd też:

dla

tu działania oznaczają:

Obrazek przedstawia metodę mnożenia oktonionów. Porównanie z tabelką u góry może pomóc w jej zrozumieniu i zapamiętaniu.

Oktawy stanowią jedyną algebrę skończonego wymiaru nad ciałem liczb rzeczywistych z wykonalnym dzieleniem, w której mnożenie nie jest łączne, ale jest alternatywne (tj. łączne w algebrze tworzonej przez każde dwa z jej elementów).

Oktawy Cayleya zawierają w sobie algebry izomorficzne z:

Z drugiej strony można zanurzyć w następujących algebrach:

Zobacz też

Linki zewnętrzne

  • Eric W. Weisstein, Octonion, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2024-03-07].
  • The Octonions – artykuł Johna C. Baeza
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.