Rozkład F Snedecora

Rozkład F Snedecora
	Gęstość prawdopodobieństwa;
	Dystrybuanta;
Parametry	stopni swobody
Nośnik
Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
Wartość oczekiwana (średnia)
Moda
Wariancja
Współczynnik skośności	; for
Kurtoza	;
Odkrywca	Ronald Fisher, George W. Snedecor

Rozkład F Snedecora, rozkład F, rozkład Fishera-Snedecora – rozkład prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej, wykorzystywany między innymi w testach statystycznych, na przykład w analizie wariancji.

Definicja

Jeżeli niezależne zmienne losowe $S_{1}$ i $S_{2}$ mają rozkłady chi-kwadrat o odpowiednio $d_{1}$ i $d_{2}$ stopniach swobody: $S_{1}\sim \chi _{d_{1}}^{2}\ {}$ i ${}\ S_{2}\sim \chi _{d_{2}}^{2},$ to zmienna losowa ${\textstyle X={\frac {S_{1}/d_{1}}{S_{2}/d_{2}}}}$ ma rozkład F o $d_{1},$ $d_{2}$ stopniach swobody, co zapisujemy:

X={\frac {S_{1}/d_{1}}{S_{2}/d_{2}}}\sim F_{d_{1},d_{2}}.

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa zmiennej $X$ jest dana wzorem:

{\begin{aligned}f_{d_{1},d_{2}}(x)&={\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\operatorname {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\\[5pt]&={\frac {1}{\operatorname {B} \left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}\left({\frac {d_{1}}{d_{2}}}\right)^{\frac {d_{1}}{2}}x^{{\frac {d_{1}}{2}}-1}\left(1+{\frac {d_{1}}{d_{2}}}\,x\right)^{-{\frac {d_{1}+d_{2}}{2}}}\end{aligned}}

dla $x>0,$ gdzie $\mathrm {B}$ to funkcja beta.

Dystrybuanta dana jest wzorem:

F_{d_{1},d_{2}}(x)=I_{d_{1}x/(d_{1}x+d_{2})}\left({\tfrac {d_{1}}{2}},{\tfrac {d_{2}}{2}}\right),

gdzie $I$ to regularyzowana niekompletna funkcja beta.

Historia i nazwa

W 1924 roku Ronald Fisher stworzył tablice dla rozkładu, który oznaczył literą $Z=\ln(F/2),$ zaś w 1934 roku George Snedecor w hołdzie Fisherowi nadał rozkładowi $\textstyle {\frac {S_{1}/d_{1}}{S_{2}/d_{2}}}$ nazwę F i stablicował go.

Przypisy

1 2 AnnaA. Baranowska AnnaA., Elementy statystyki dla studentów uczelni medycznych: nowoczesne ujęcie z opisem obliczeń w programach Excel, R i Statistica, Wydanie drugie poprawione, Wrocław: Oficyna Wydawnicza GiS, 2022, s. 108, ISBN 978-83-67234-02-3 [dostęp 2024-02-19] .
↑ AndrzejA. Balicki AndrzejA., WiesławaW. Makać WiesławaW., Metody wnioskowania statystycznego, Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego, 1997, s. 99, ISBN 83-7326-056-0 .
↑ KalimuthuK. Krishnamoorthy KalimuthuK., Handbook of statistical distributions with applications, Second edition, A Chapman & Hall book, Boca Raton London New York: CRC Press, Taylor & Francis Group, 2016, s. 189, ISBN 978-1-4987-4149-1 [dostęp 2024-02-19] .

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[:0-1] 1 2 AnnaA. Baranowska AnnaA., Elementy statystyki dla studentów uczelni medycznych: nowoczesne ujęcie z opisem obliczeń w programach Excel, R i Statistica, Wydanie drugie poprawione, Wrocław: Oficyna Wydawnicza GiS, 2022, s. 108, ISBN 978-83-67234-02-3 [dostęp 2024-02-19] .

[2] AndrzejA. Balicki AndrzejA., WiesławaW. Makać WiesławaW., Metody wnioskowania statystycznego, Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego, 1997, s. 99, ISBN 83-7326-056-0 .

[3] KalimuthuK. Krishnamoorthy KalimuthuK., Handbook of statistical distributions with applications, Second edition, A Chapman & Hall book, Boca Raton London New York: CRC Press, Taylor & Francis Group, 2016, s. 189, ISBN 978-1-4987-4149-1 [dostęp 2024-02-19] .

Rozkłady ciągłe	arcusa sinusa beta Cauchy’ego chi chi kwadrat Dirichleta Erlanga F Snedecora Fishera-Tippetta gamma jednostajny ciągły Laplace’a logarytmicznie normalny logistyczny normalny (wielowymiarowy normalny) Pareta Rayleigha Studenta trójkątny Voigta Weibulla wykładniczy
Rozkłady dyskretne	Benforda dwumianowy Rozkład dwupunktowy dzeta geometryczny hipergeometryczny jednostajny dyskretny Rozkład jednopunktowy Panjera Pascala (ujemny dwumianowy) Poissona zero-jedynkowy

Rozkład F Snedecora
Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
Parametry	$d_{1}>0,\ d_{2}>0$ stopni swobody
Nośnik	$x\in [0;+\infty )$
Gęstość prawdopodobieństwa	${\frac {\sqrt {\frac {(d_{1}\,x)^{d_{1}}\,\,d_{2}^{d_{2}}}{(d_{1}\,x+d_{2})^{d_{1}+d_{2}}}}}{x\,\mathrm {B} \!\left({\frac {d_{1}}{2}},{\frac {d_{2}}{2}}\right)}}$
Dystrybuanta	$I_{\frac {d_{1}x}{d_{1}x+d_{2}}}(d_{1}/2,d_{2}/2)$
Wartość oczekiwana (średnia)	${\frac {d_{2}}{d_{2}-2}}$ ${\text{ dla }}d_{2}>2$
Moda	${\frac {d_{1}-2}{d_{1}}}\;{\frac {d_{2}}{d_{2}+2}}$ ${\text{ dla }}d_{1}>2$
Wariancja	${\frac {2\,d_{2}^{2}\,(d_{1}+d_{2}-2)}{d_{1}(d_{2}-2)^{2}(d_{2}-4)}}$ ${\text{ dla }}d_{2}>4$
Współczynnik skośności	${\frac {(2d_{1}+d_{2}-2){\sqrt {8(d_{2}-4)}}}{(d_{2}-6){\sqrt {d_{1}(d_{1}+d_{2}-2)}}}}$ for $d_{2}>6$
Kurtoza	${\tfrac {12(20d_{2}-8d_{2}^{2}+d_{2}^{3}+44d_{1}-32d_{1}d_{2}}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}+$ $+{\tfrac {5d_{2}^{2}d_{1}-22d_{1}^{2}+5d_{2}d_{1}^{2}-16)}{d_{1}(d_{2}-6)(d_{2}-8)(d_{1}+d_{2}-2)}}.$
Odkrywca	Ronald Fisher, George W. Snedecor