Wersja podstawowa (dla granic w punkcie)

Niech funkcje ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g}$ będą określone w przedziale ${\displaystyle (a,b]}$ oraz

1. ${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)=0,}$
2. ${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}g(x)=0,}$

lub

1. ${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)=\pm \infty ,}$
2. ${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}g(x)=\pm \infty ,}$

oraz istnieją (skończone) pochodne ${\displaystyle f'}$ i ${\displaystyle g'}$ w przedziale ${\displaystyle (a,b],}$ przy czym ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$ dla ${\displaystyle x\in (a,b].}$

Wówczas, jeśli istnieje granica

${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=K,}$

to wtedy również

${\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=K.}$

Analogiczne twierdzenie jest też prawdziwe dla granic lewostronnych i obustronnych.

Wersja dla granic w nieskończoności

Niech funkcje ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g}$ będą określone w przedziale ${\displaystyle [c,\infty )}$ oraz

1. ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=0,}$
2. ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }g(x)=0,}$

lub

1. ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=\pm \infty ,}$
2. ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }g(x)=\pm \infty ,}$

oraz istnieją (skończone) pochodne ${\displaystyle f'}$ i ${\displaystyle g'}$ w przedziale ${\displaystyle [c,\infty ),}$ przy czym ${\displaystyle g'(x)\neq 0}$ dla ${\displaystyle x\in [c,\infty ).}$

Wówczas, jeśli istnieje granica

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=K,}$

to wtedy również

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=K.}$

Analogiczne twierdzenie jest też prawdziwe dla granic gdy ${\displaystyle x\to -\infty .}$

Wersja twierdzenia dla funkcji n-krotnie różniczkowalnych

Jeżeli funkcje ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g}$ są określone w przedziale otwartym ${\displaystyle I}$ zawierającym punkt ${\displaystyle a}$ oraz

1. w przedziale ${\displaystyle I}$ istnieją (skończone) pochodne wszystkich rzędów do ${\displaystyle n}$ włącznie funkcji ${\displaystyle f}$ i ${\displaystyle g,}$
2. ${\displaystyle f(a)=f'(a)=\ldots =f^{(n-1)}(a)=0,}$ ${\displaystyle g(a)=g'(a)=\ldots =g^{(n-1)}(a)=0,}$ oraz ${\displaystyle g^{(n)}(a)\neq 0,}$
3. ${\displaystyle g(x)\neq 0}$ dla ${\displaystyle x\in I\setminus \{a\},}$

wówczas

${\displaystyle \lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f^{(n)}(x)}{g^{(n)}(x)}}.}$