Hesjan, macierz Hessego – macierz (kwadratowa) drugich pochodnych cząstkowych funkcji o wartościach rzeczywistych dwukrotnie różniczkowalnej w pewnym punkcie dziedziny. Czasem pod pojęciem hesjanu rozumie się wyznacznik macierzy Hessego, będący formą kwadratową przyrostów zmiennych. Jest on używany przy znajdowaniu ekstremów funkcji wielu zmiennych.

Nazwę hesjanu wprowadził James Joseph Sylvester dla upamiętnienia niemieckiego matematyka Ottona Hessego (1811–1874).

Definicja

Niech ${\displaystyle D}$ będzie niepustym, otwartym podzbiorem ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ oraz ${\displaystyle f\colon D\to \mathbb {R} }$ będzie dwukrotnie różniczkowalna w ${\displaystyle x_{0}\in D.}$ Macierzą Hessego funkcji ${\displaystyle f}$ w punkcie ${\displaystyle x_{0}}$ nazywamy macierz

${\displaystyle H(x_{0}):={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}(x_{0})&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{2}}}(x_{0})&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{n}}}(x_{0})\\[1em]{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{1}}}(x_{0})&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}(x_{0})&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{n}}}(x_{0})\\[.5em]\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\[.5em]{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{1}}}(x_{0})&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{2}}}(x_{0})&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}(x_{0})\end{bmatrix}}.}$

Zobacz też

• gradient
• hesjan obrzeżony
• jakobian

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Hessian, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-06-01].