Area sinus

Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ Funkcja ta:

• jest nieparzysta;
• w punkcie ${\displaystyle x=0}$ ma punkt przegięcia;
• jest rosnąca na całej dziedzinie;
• nie ma asymptot.

Area cosinus

Cosinus hiperboliczny jako funkcja parzysta nie jest odwracalny w sensie złożenia. Przez to rozróżnia się dwie gałęzie area cosinusa:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcosh} \ x&=\pm \ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}}),\\\operatorname {arcosh} _{1}\ x&=\ \ \ \ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}}),\\\operatorname {arcosh} _{2}\ x&=-\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}}).\end{aligned}}}$

Jeśli są traktowane jako funkcje rzeczywiste, to ich dziedziną jest przedział ${\displaystyle [1,\infty ).}$ Funkcją odwrotną dla pierwszej gałęzi area cosinusa hiperbolicznego jest cosinus hiperboliczny dla argumentów większych od zera; dla drugiej gałęzi cosinus hiperboliczny dla argumentów mniejszych od zera.

Area tangens

Dziedziną tej funkcji jest przedział otwarty ${\displaystyle (-1,1).}$ Funkcja ta:

• jest nieparzysta;
• jest rosnąca;
• ma dwie asymptoty i obie są pionowe: ${\displaystyle x=-1,\;x=1.}$

Area cotangens

Dziedziną tej funkcji jest suma dwóch przedziałów otwartych: ${\displaystyle (-\infty ,-1)\cup (1,\infty ).}$ Funkcja ta:

• nie ma ekstremów;
• nie ma przegięć;
• ma 3 asymptoty: ${\displaystyle y=0,\;x=-1,\;x=1.}$

Area secans

Dziedziną tej funkcji jest przedział ${\displaystyle (0,1].}$ Funkcja ma asymptotę o równaniu ${\displaystyle x=0.}$

Area cosecans

Dziedziną tej funkcji jest ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}.}$ Funkcja ma dwie asymptoty: ${\displaystyle x=0}$ i ${\displaystyle y=0.}$

Całki funkcji algebraicznych

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}+1}}}&=\operatorname {arsinh} \ x+C=\\&=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})+C\\\int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}-1}}}&=\operatorname {arcosh} \ x+C=\\&=\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}})+C\\\int {\sqrt {x^{2}+1}}\ dx&={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {arsinh} \ x+x{\sqrt {x^{2}+1}}\right)+C\ {}=\\&={\frac {1}{2}}\left(\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})+x{\sqrt {x^{2}+1}}\right)+C\\\int {\sqrt {x^{2}-1}}\ dx&={\frac {1}{2}}\left(-\operatorname {arcosh} \ x+x{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\ {}=\\&={\frac {1}{2}}\left(-\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}})+x{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\\\int {\frac {dx}{1-x^{2}}}&={\frac {1}{2}}\ln \left|{\frac {1+x}{1-x}}\right|+C=\\&={\begin{cases}\operatorname {artgh} \ x+C&\quad {\text{dla}}&\ |x|<1\\\operatorname {arctgh} \ x+C&\quad {\text{dla}}&\ |x|>1\end{cases}}\end{aligned}}}$

Funkcje kołowe

Wzór Eulera pozwala powiązać funkcje polowe z kołowymi (cyklometrycznymi) za pomocą jednostki urojonej ${\displaystyle i}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {ar\ sinh} x&=-i\operatorname {arc\ sin} (ix)\\\operatorname {ar\ cosh} x&=\ \ \ i\operatorname {arc\ cos} x\\\operatorname {ar\ tgh} x&=-i\operatorname {arc\ tg} (ix)\end{aligned}}}$