Funkcja wykładnicza, funkcja eksponencjalna – dwojako definiowany typ funkcji matematycznej:

• w sensie szerokim jest to dowolna funkcja postaci ${\displaystyle f(x)=a^{x},}$ gdzie ${\displaystyle a>0}$. Liczba ${\displaystyle a}$ – podstawa tej potęgi – jest nazywana podstawą funkcji wykładniczej;
• w sensie wąskim jest to funkcja opisana powyższy wzorem przy dodatkowym warunku ${\displaystyle a\neq 1}$ – wyklucza się przypadek ${\displaystyle a=1,}$ kiedy ten wzór daje funkcję stałą.

Dziedziną takich funkcji może być cała oś rzeczywista ${\displaystyle (f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} )}$ lub płaszczyzna zespolona ${\displaystyle (f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} ).}$ W pierwszym wypadku:

• zbiorem wartości jest półoś wszystkich liczb dodatnich ${\displaystyle (\mathbb {R} _{+})}$ – funkcja ta jest ograniczona z dołu, ale nie z góry;
• funkcje te są monotoniczne w całej dziedzinie: dla ${\displaystyle a>1}$ są rosnące, a dla ${\displaystyle 0<a<1}$ – malejące;
• w związku z powyższymi faktami:
  • granicą takich funkcji w jednej z nieskończoności jest zero; oś pozioma jest dla nich asymptotą jednostronną – lewostronną dla funkcji rosnących i prawostronną dla malejących;
  • granica w drugiej nieskończoności jest niewłaściwa;
• funkcje te są ciągłe, a do tego gładkie i analityczne; ich rozwinięcie w szereg podano w dalszej sekcji;
• wykresy takich funkcji w kartezjańskim układzie współrzędnych są znane jako krzywe wykładnicze.

Funkcjami wykładniczymi definiuje się inne, np. logarytmy, funkcje hiperboliczne i pośrednio polowe (area), a wzór Eulera opisuje związek funkcji wykładniczych z trygonometrycznymi. Te wszystkie rodziny funkcji są zaliczane do elementarnych. Z funkcji wykładniczych korzystają różne działy matematyki, nauk empirycznych i technicznych.

Własności

Eksponens

Szczególnym przypadkiem funkcji wykładniczej jest ta o podstawie równej ${\displaystyle e}$ – podstawie logarytmu naturalnego. Innym oznaczeniem takiej funkcji jest ${\displaystyle \exp(x)}$ nazywane krótko eksponensem.

Cechą funkcji ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ jest to, że jej pochodna jest równa jej samej. Zastosowanie metody łamanych Eulera do rozwiązywania równania różniczkowego

${\displaystyle {\dot {x}}=x}$

przy warunku początkowym

${\displaystyle x(0)=1}$

daje wzór na funkcję eksponencjalną:

${\displaystyle \exp(x)=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\tfrac {x}{n}}\right)^{n}.}$

Eksponens jako funkcję analityczną na mocy twierdzenia Taylora można rozwinąć w szereg potęgowy: ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}$

Dziedzina zespolona

Funkcję eksponencjalną łatwo uogólnić na ciało liczb zespolonych. Jedną z metod jest wykorzystanie rozwinięcia funkcji w szereg Taylora i podstawienie zespolonego argumentu w miejsce rzeczywistego:

${\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}.}$

Jest to funkcja okresowa z okresem ${\displaystyle 2\pi i}$ i można ją zapisać jako:

${\displaystyle e^{a+bi}=e^{a}(\cos b+i\sin b),}$

gdzie ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ to odpowiednio współczynniki części rzeczywistej i urojonej danej liczby zespolonej.

Funkcja eksponencjalna w dziedzinie liczb zespolonych zachowuje następujące własności

• ${\displaystyle e^{z+w}=e^{z}e^{w},}$
• ${\displaystyle e^{0}=1,}$
• ${\displaystyle e^{z}\neq 0,}$
• ${\displaystyle {\frac {d}{dz}}e^{z}=e^{z},}$
• ${\displaystyle (e^{z})^{n}=e^{nz},\ n\in \mathbb {Z} }$

dla wszystkich ${\displaystyle z}$ i ${\displaystyle w.}$

Funkcja eksponencjalna jest całkowita i holomorficzna w całym zbiorze liczb zespolonych. Jej wartościami są wszystkie liczby zespolone z wyjątkiem 0.

Przykłady i zastosowania

Zobacz też

• eksponenta macierzy
• homomorfizm

Przypisy

Bibliografia

• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 1. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978.
• Wojciech Żakowski: funkcja wykładnicza, [w:] Mały słownik matematyczny. Warszawa: Wydawnictwo „Wiedza Powszechna”, 1972.

Linki zewnętrzne

Polskojęzyczne

• Funkcja wykładnicza – wykładniczy wzrost i zanik, kanał Khan Academy na YouTube [dostęp 2024-04-11].

Anglojęzyczne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Exponential Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-04-11].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Natural Exponential Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-04-11].
• Exponential function (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].