Dowód

Ponieważ ${\displaystyle \forall _{x\in A}x{\mathcal {R}}x,}$ więc każdy element zbioru ${\displaystyle A}$ należy do pewnego zbioru rodziny ${\displaystyle \Pi }$ i żaden z tych zbiorów nie jest pusty. Jeśli ${\displaystyle A_{x}\cap A_{y}\neq \emptyset ,}$ to istnieje ${\displaystyle z\in A_{x}\cap A_{y},}$ skąd ${\displaystyle x{\mathcal {R}}z\wedge z{\mathcal {R}}y.}$ Zatem ${\displaystyle x{\mathcal {R}}y,}$ czyli ${\displaystyle A_{x}=A_{y}}$.

Dowód

Jeśli ${\displaystyle x\in A,}$ to ponieważ ${\displaystyle A=\bigcup _{t\in T},}$ to dla pewnego ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x\in A_{t},}$ a stąd wynika, że ${\displaystyle x{\mathcal {R}}x.}$

Jeśli ${\displaystyle x,y\in A,}$ to ${\displaystyle x{\mathcal {R}}y\Rightarrow y{\mathcal {R}}x.}$ Wynika to z oczywistej implikacji: ${\displaystyle x,y\in A_{t}\Rightarrow y,x\in A_{t}.}$

Niech ${\displaystyle x{\mathcal {R}}y\wedge y{\mathcal {R}}z.}$ Istnieją ${\displaystyle i,j\in T,}$ dla których ${\displaystyle x,y\in A_{i}\wedge y,z\in A_{j}.}$ Jednak w tym wypadku ${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}\neq \emptyset ,}$ ponieważ ${\displaystyle y\in A_{i}\cap A_{j},}$ skąd ${\displaystyle A_{i}=A_{j},}$ a więc ${\displaystyle x{\mathcal {R}}z}$.