Twierdzenie Hilberta o bazie – twierdzenie mówiące, że każdy ideał w pierścieniu wielomianów nad pierścieniem noetherowskim jest skończenie generowany. W języku geometrii algebraicznej można to wypowiedzieć następująco: każdy zbiór algebraiczny nad ciałem może być opisany jako zbiór wspólnych pierwiastków skończonej liczby wielomianów.

Twierdzenie to zostało udowodnione przez Davida Hilberta w przypadku szczególnym pierścienia wielomianów nad ciałem przy okazji dowodu twierdzenia o skończonej generowalności pierścienia niezmienników. Dowód Hilberta był niekonstruktywny i wykorzystywał indukcję matematyczną; nie wskazywał algorytmu wyodrębniania skończonej bazy wielomianów dla danego ideału; pokazywał jedynie, że baza taka istnieje. Konstruktywna metoda znajdowania skończonej bazy wielomianów oparta jest na bazie Gröbnera.

Inne sformułowania twierdzenia Hilberta o bazie

  1. Niech będzie pierścieniem wielomianów zmiennych o współczynnikach z pierścienia Jeśli jest pierścieniem noetherowskim, to również jest pierścieniem noetherowskim.
  2. Jeśli każdy ciąg rosnący ideałów pierścienia jest skończony, to również każdy ciąg rosnący ideałów pierścienia jest skończony.

Przypisy

  1. ↑ van der Waerden: Algebra. Springer-Verlag, 1967.; wyd. ros., Moskwa 1976, s. 439–444.
  2. 1 2 Atiyah M.F., Macdonald I.G.: Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley, 1969.; wyd. ros., Moskwa 1972, s. 99–102.
  3. ↑ Jerzy Rutkowski, Algebra abstrakcyjna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006, ISBN 978-83-01-14388-6, s. 178, Twierdzenie 62.

Bibliografia

  • Atiyah M.F., Macdonald I.G.: Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley, 1969.
  • van der Waerden B.L.: Algebra. Springer-Verlag, 1967.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.