Twierdzenie Dunforda – twierdzenie opisujące operatory z przestrzeni L₁ do L_p dla p ∈ (1, ∞] jako operatory całkowe. Twierdzenie udowodnione w 1936 przez Nelsona Dunforda. Inny dowód pochodzi od G. Łozanowskiego.

Twierdzenie

Niech (X, μ) i (Y, ν) będą przestrzeniami z miarą σ-skończoną oraz niech p ∈ (1, ∞]. Jeżeli T: L₁(ν) → L_p(μ) jest ograniczonym operatorem liniowym, to

${\displaystyle Tf=\int \limits _{Y}k(x,y)\,f(y)\,\nu ({\rm {d}}y)\qquad (f\in L_{1}(\nu ))}$

dla pewnej funkcji

${\displaystyle k\in L_{\infty }(L_{p}(\mu )).}$

Ponadto,

${\displaystyle \|T\|=\|k\|_{L_{\infty }(L_{p}(\mu ))}.}$

Innymi słowy, każdy operator T: L₁(ν) → L_p(μ) ma jądro całkowe.

Przypisy