Dowód

Elementarny dowód tego twierdzenia pochodzi z pracy Zachariasa  . Oznaczmy promień okręgu ${\displaystyle O_{i}}$ przez ${\displaystyle R_{i},}$ a jego punkt styczności z okręgiem ${\displaystyle O}$ przez ${\displaystyle K_{i}.}$ Środki okręgów będziemy oznaczali przez ${\displaystyle O}$ oraz ${\displaystyle O_{i}.}$ Z twierdzenia Pitagorasa wynika, że

${\displaystyle t_{ij}^{2}={\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}.}$

(1a)

Będziemy chcieli wyrazić prawą stronę tej równości przy użyciu punktów ${\displaystyle K_{i},K_{j},}$ by móc zastosować twierdzenie Ptolemeusza. Z twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkąta ${\displaystyle O_{i}OO_{j}}$ wynika, że

${\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}={\overline {OO_{i}}}^{2}+{\overline {OO_{j}}}^{2}-2{\overline {OO_{i}}}\cdot {\overline {OO_{j}}}\cdot \cos \angle O_{i}OO_{j}}$

(1b)

Ponieważ okręgi ${\displaystyle O,O_{i}}$ są do siebie styczne, zachodzi

${\displaystyle \angle O_{i}OO_{j}=\angle K_{i}OK_{j},}$

a ponieważ są styczne wewnętrznie

${\displaystyle {\overline {OO_{i}}}=R-R_{i}.}$

Łatwo również zauważyć, że kąty ${\displaystyle \angle K_{i}CK_{j}}$ i ${\displaystyle \angle K_{i}OK_{j}}$ to, odpowiednio, kąt środkowy i kąt wpisany oparte na tym samym łuku ${\displaystyle K_{i}K_{j}.}$ Z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym wynika, że

${\displaystyle \angle K_{i}CK_{j}=2\angle K_{i}OK_{j}}$

Niech ${\displaystyle C}$ będzie punktem na okręgu ${\displaystyle O.}$ Z twierdzenia sinusów w trójkącie ${\displaystyle K_{i}CK_{j}{:}}$

${\displaystyle {\overline {K_{i}K_{j}}}=2R\cdot \sin \angle K_{i}CK_{j}=2R\cdot \sin {\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}}$

Zatem

${\displaystyle \cos \angle K_{i}OK_{j}=1-2\sin ^{2}{\frac {\angle K_{i}OK_{j}}{2}}=1-2\cdot \left({\frac {\overline {K_{i}K_{j}}}{2R}}\right)^{2}=1-{\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}}$

podstawiając je do wzoru (1b):

${\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i})(R-R_{j})\left(1-{\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{2R^{2}}}\right)}$

${\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=(R-R_{i})^{2}+(R-R_{j})^{2}-2(R-R_{i})(R-R_{j})+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}}$

${\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=((R-R_{i})-(R-R_{j}))^{2}+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}}$

${\displaystyle {\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}=(R_{i}-R_{j})^{2}+(R-R_{i})(R-R_{j})\cdot {\frac {{\overline {K_{i}K_{j}}}^{2}}{R^{2}}}}$

Ostatecznie, długość której szukamy, to

${\displaystyle t_{ij}={\sqrt {{\overline {O_{i}O_{j}}}^{2}-(R_{i}-R_{j})^{2}}}={\frac {{\sqrt {R-R_{i}}}\cdot {\sqrt {R-R_{j}}}\cdot {\overline {K_{i}K_{j}}}}{R}}.}$

(1c)

Możemy teraz obliczyć ile wynosi lewa strona równania (1); wymnażając wartości ${\displaystyle t_{ij}}$ oraz używając oryginalnego twierdzenia Ptolemeusza, zastosowanego do wpisanego czworokąta ${\displaystyle K_{1}K_{2}K_{3}K_{4}}$ otrzymujemy:

${\displaystyle {\begin{aligned}&t_{12}t_{34}+t_{14}t_{23}\\[1ex]={}&{\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left({\overline {K_{1}K_{2}}}\cdot {\overline {K_{3}K_{4}}}+{\overline {K_{1}K_{4}}}\cdot {\overline {K_{2}K_{3}}}\right)\\[1ex]={}&{\frac {1}{R^{2}}}\cdot {\sqrt {R-R_{1}}}{\sqrt {R-R_{2}}}{\sqrt {R-R_{3}}}{\sqrt {R-R_{4}}}\left({\overline {K_{1}K_{3}}}\cdot {\overline {K_{2}K_{4}}}\right)\\[1ex]={}&t_{13}t_{24},\end{aligned}}}$

co było do okazania.