Twierdzenie Bretschneidera – twierdzenie geometryczne pozwalające obliczyć pole powierzchni dowolnego czworokąta znając jedynie długości jego boków oraz miary jego kątów. Zostało ono udowodnione niezależnie w 1842 roku przez Carla Bretschneidera   oraz przez F. Strehlkego  .

Wypowiedź twierdzenia

Niech dany będzie dowolny czworokąt ABCD o bokach długości ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle c}$ i ${\displaystyle d,}$ oraz kątach (kolejno) ${\displaystyle \alpha ,}$ ${\displaystyle \beta ,}$ ${\displaystyle \gamma }$ i ${\displaystyle \delta .}$ Oznaczmy połowę jego obwodu przez

${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}.}$

Wtedy pole tego czworokąta wyraża się przez

${\displaystyle S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}{\frac {\alpha +\gamma }{2}}}}.}$

Dowód twierdzenia

Na początek zauważmy, że w twierdzeniu nie jest istotne, którą parę przeciwległych kątów – ${\displaystyle \alpha }$ i ${\displaystyle \gamma ,}$ czy ${\displaystyle \beta }$ i ${\displaystyle \delta }$ – wybierzemy. Zachodzi bowiem

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos ^{2}{\frac {\beta +\delta }{2}}&=\cos ^{2}{\frac {2\pi -(\alpha +\gamma )}{2}}\\&=\cos ^{2}\left(\pi -{\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)\\&=\left(-\cos {\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)^{2}\\&=\cos ^{2}{\frac {\alpha +\gamma }{2}}.\end{aligned}}}$

Oznaczmy pole czworokąta symbolem ${\displaystyle S.}$ Wtedy

${\displaystyle {\begin{aligned}S&=S_{\triangle ADB}+S_{\triangle BDC}\\&={\frac {1}{2}}ad\sin \alpha +{\frac {1}{2}}bc\sin \gamma .\end{aligned}}}$

(1)

Zauważmy, że wzór ten działa zarówno, gdy czworokąt ABCD jest wypukły, jak i gdy jest wklęsły: przypuśćmy, że kąt ${\displaystyle \gamma }$ ma miarę większą od kąta półpełnego. Wtedy wzór (1) przyjmuje postać

${\displaystyle S=S_{\triangle ADB}-S_{\triangle BDC}.}$

Ale pole trójkąta BDC to

${\displaystyle S_{\triangle BDC}={\frac {1}{2}}bc\sin {(2\pi -\gamma )}={\frac {1}{2}}bc\sin(-\gamma )=-{\frac {1}{2}}bc\sin \gamma ,}$

co ostatecznie daje ponownie wzór (1).

Przemnażając wzór (1) przez 2 i podnosząc obustronnie do kwadratu, otrzymujemy

${\displaystyle 4S^{2}=(ad)^{2}\sin ^{2}\alpha +(bc)^{2}\sin ^{2}\gamma +2abcd\sin \alpha \sin \gamma .}$

(2)

Z twierdzenia cosinusów zastosowanego do trójkątów ABD i BCD otrzymujemy

${\displaystyle {\begin{aligned}|BD|^{2}&=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \gamma \\|BD|^{2}&=a^{2}+d^{2}-2ad\cos \alpha .\end{aligned}}}$

Łącząc powyższe równości otrzymujemy

${\displaystyle a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}=2ad\cos \alpha -2bc\cos \gamma .}$

Podnosząc równość do kwadratu i dzieląc przez 4, otrzymujemy:

${\displaystyle {\frac {1}{4}}(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}=(ad)^{2}\cos ^{2}\alpha +(bc)^{2}\cos ^{2}\gamma -2abcd\cos \alpha \cos \gamma .}$

(3)

Dodając stronami równania (2) i (3) oraz korzystając z tożsamości trygonometrycznych (jedynki trygonometrycznej, cosinusa sumy kątów oraz cosinusa podwojonego kąta), otrzymujemy kolejno:

${\displaystyle {\begin{aligned}4S^{2}+{\frac {1}{4}}(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}&=(ad)^{2}\cos ^{2}\alpha +(bc)^{2}\cos ^{2}-2abcd\cos \alpha \cos \gamma +(ad)^{2}\sin ^{2}\alpha +(bc)^{2}\sin ^{2}+2abcd\sin \alpha \sin \gamma \\&=(ad)^{2}+(bc)^{2}-2abcd(\cos \alpha \cos \gamma -\sin \alpha \sin \gamma )\\&=(ad)^{2}+(bc)^{2}-2abcd\cos(\alpha +\gamma )\\&=(ad)^{2}+(bc)^{2}-2abcd\cos \left(2\cdot {\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)\\&=(ad)^{2}+(bc)^{2}-2abcd\left(2\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)-1\right)\\&=(ad+bc)^{2}-4abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right).\end{aligned}}}$

Przemnażając obie strony przez 4 i przenosząc jeden ze składników sumy na drugą stronę, równość przyjmuje postać

${\displaystyle 16S^{2}=4(ad+bc)^{2}-(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}-16abcd\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right).}$

Zapisując wyrażenie

${\displaystyle 4(ad+bc)^{2}-(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}$

jako

${\displaystyle (2ad+2bc)^{2}-(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}$

oraz korzystając z wzorów skróconego mnożenia, otrzymujemy

${\displaystyle {\begin{aligned}(2ad+2bc)^{2}-(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}&=(2ad+2bc+a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})(2ad+2bc-a^{2}-d^{2}+b^{2}+c^{2})\\&=((a+d)^{2}-(b-c)^{2})((b+c)^{2}-(a-d)^{2})\\&=(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d).\end{aligned}}}$

Wprowadzając połowę obwodu ${\displaystyle s}$

${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}},}$

otrzymujemy równość

${\displaystyle 16S^{2}=16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-16abcd\cos ^{2}{\frac {\alpha +\gamma }{2}}}$

z której, po podzieleniu przez 16 i obustronnym spierwiastkowaniu otrzymujemy wzór Bretschneidera.

Podobne twierdzenia

Twierdzenie Bretschneidera to uogólnienie wzoru Brahmagupty, będącego z kolei uogólnieniem wzoru Herona. Jeśli czworokąt dany jest wpisany w koło, to przeciwległe kąty sumują się do kąta półpełnego i wtedy

${\displaystyle S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}{\frac {\pi }{2}}}}={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}.}$

Przypisy

Bibliografia

• Carl Bretschneider. Untersuchung der trigonometrischen Relationen des geradlinigen Viereckes. „C. A. Archiv der Math.”. 2, s. 225–261, 1842. 
• J.L. Coolidge. A Historically Interesting Formula for the Area of a Quadrilateral.. „Amer. Math. Monthly”. 2, s. 345–347, 1939. 
• Ernest William Hobson: A treatise on plane geometry. Wyd. IV. Cambridge University Press, 1918.
• F. Strehlke. Zwei neue Sätze vom ebenen und shparischen Viereck und Umkehrung des Ptolemaischen Lehrsatzes. „Archiv der Math.”. 2, s. 33–326, 1842. 

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Bretschneider’s Formula, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-14]  (ang.).
• Proof Wiki - Bretschneider’s Formula.