Transformata Hilberta ${\displaystyle {\widehat {g}}(t)}$ funkcji ${\displaystyle g(t)}$ oraz transformata do niej odwrotna definiowana jest w następujący sposób:

${\displaystyle {\widehat {g}}(t)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {g(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau ,}$

${\displaystyle g(t)=-{\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {{\widehat {g}}(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau .}$

Jest to splot funkcji ${\displaystyle g(t)}$ z funkcją ${\displaystyle h(t)={\frac {1}{\pi t}}.}$

Transformata Fouriera funkcji ${\displaystyle h(t)}$ wynosi:

${\displaystyle H(\omega )={\mathcal {F}}\{h\}(\omega )=-j\cdot \operatorname {sgn}(\omega )={\begin{cases}+j&{\text{dla }}\omega <0\\0&{\text{dla }}\omega =0\\-j&{\text{dla }}\omega >0\end{cases}},}$

gdzie ${\displaystyle j}$ oznacza jednostkę urojoną.

Na podstawie zasady, że splotowi funkcji odpowiada mnożenie ich widm (w sensie transformat Fouriera), wynika z tego, że widmo transformaty Hilberta ${\displaystyle {\widehat {s}}(t)}$ różni się od widma „oryginalnego” sygnału ${\displaystyle s(t)}$ jedynie tym, że dodatnia połówka ulega wymnożeniu przez ${\displaystyle -j,}$ a ujemna przez ${\displaystyle +j.}$ Mnożenie widma przez ${\displaystyle \pm j}$ oznacza przesunięcie fazy o ${\displaystyle \pm }$90°, przy zachowaniu niezmienionej amplitudy.

${\displaystyle {\widehat {G}}(\omega )={\mathcal {F}}\{h\}(\omega )\cdot {\mathcal {F}}\{g\}(\omega )=-j\cdot \operatorname {sgn}(\omega )\cdot G(\omega )={\begin{cases}+j\cdot G(\omega )&{\text{dla }}\omega <0\\0&{\text{dla }}\omega =0\\-j\cdot G(\omega )&{\text{dla }}\omega >0\end{cases}}.}$

Właściwości transformaty

1. Transformata jest przekształceniem liniowym.
2. Sygnał ${\displaystyle g(t)}$ i jego transformata Hilberta mają to samo widmo amplitudowe.
3. Dwukrotnie transformując sygnał ${\displaystyle g(t)}$ otrzymamy ${\displaystyle -g(t).}$
4. Sygnał ${\displaystyle g(t)}$ i jego transformata są ortogonalne.

Wybrane pary transformat Hilberta

Sygnał   ${\displaystyle u(t)}$	transformata Hilberta   ${\displaystyle {\widehat {u}}(t)}$
${\displaystyle \sin(t)}$	${\displaystyle -\cos(t)}$
${\displaystyle \cos(t)}$	${\displaystyle \sin(t)}$
${\displaystyle {\frac {1}{t^{2}+1}}}$	${\displaystyle {\frac {t}{t^{2}+1}}}$
funkcja sinc    ${\displaystyle {\frac {\sin(t)}{t}}}$	${\displaystyle {\frac {1-\cos(t)}{t}}}$
sygnał prostokątny    ${\displaystyle \sqcap (t)}$	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\ln \left|{\frac {t+{\frac {1}{2}}}{t-{\frac {1}{2}}}}\right|}$
delta Diraca    ${\displaystyle \delta (t)}$	${\displaystyle {\frac {1}{\pi t}}}$
funkcja charakterystyczna zbioru    ${\displaystyle \chi _{[a,b]}(x)}$	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\log \left\vert {\frac {x-a}{x-b}}\right\vert }$

Zobacz też

• sygnał analityczny

Linki zewnętrzne

• Materiały dydaktyczne DSP AGH. dsp.agh.edu.pl. [zarchiwizowane z tego adresu (2013-12-17)].