Rozszerzenie Katětova – dla danej przestrzeni Hausdorffa ${\displaystyle X,}$ przestrzeń H-domknięta ${\displaystyle \tau X}$ o tej własności, że ${\displaystyle X}$ jest homeomorficzne z jej gęstym podzbiorem. Konstrukcja przedstawiona po raz pierwszy przez Miroslava Katětova w pracy z roku 1940.

Konstrukcja

Niech ${\displaystyle (X,\sigma )}$ będzie przestrzenią Hausdorffa oraz ${\displaystyle T(X)}$ będzie rodziną tych ultrafiltrów w ${\displaystyle \sigma ,}$ które nie są zbieżne do żadnego punktu przestrzeni ${\displaystyle X.}$ W zbiorze

${\displaystyle \tau X=X\cup T(X)}$

można wprowadzić topologię przyjmując za bazę otoczeń punktu ${\displaystyle {\mathcal {F}}\in T(X)}$ zbiory postaci ${\displaystyle U\cup \{{\mathcal {F}}\},}$ gdzie ${\displaystyle U\in {\mathcal {F}}}$ (za bazę otoczeń punktu ${\displaystyle x\in X}$ przyjmuje się bazę otoczeń w sensie wyjściowej topologii ${\displaystyle X}$). Przestrzeń ${\displaystyle \tau X}$ nazywa się rozszerzenie Katětova przestrzeni ${\displaystyle X.}$

Własności

• ${\displaystyle X}$ jest gęstą podprzestrzenią otwartą ${\displaystyle \tau X}$ oraz przestrzeń ${\displaystyle \tau X\setminus X}$ jest dyskretna.
• ${\displaystyle \tau X}$ jest przestrzenią H-domkniętą oraz dla każdego przekształcenia ciągłego ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ o gęstym obrazie, gdzie ${\displaystyle Y}$ jest przestrzenią Hausdorffa, istnieje takie ${\displaystyle Z\subseteq \tau X,}$ że ${\displaystyle X\subseteq Z}$ oraz taka funkcja ciągła ${\displaystyle F\colon Z\to Y,}$ że ${\displaystyle F\upharpoonright X=f}$ oraz ${\displaystyle F[Z]=Y}$ (własność ta wyznacza przestrzeń ${\displaystyle \tau X}$ z dokładnością do homeomorfizmu).

Przypisy

Bibliografia

• Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Wyd. pierwsze. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1976, s. 278.