Przestrzeń cs (albo przestrzeń ciągów sumowalnych) – przestrzeń wszystkich ciągów liczbowych ${\displaystyle (a_{n})_{n}}$ o tej własności, że szereg

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }~a_{n}}$

jest zbieżny. W przestrzeni ${\displaystyle cs}$ można wprowadzić w naturalny sposób normę wzorem

${\displaystyle \|(a_{n})_{n}\|=\sup _{n\in \mathbb {N} }\left|\sum _{k=n}^{\infty }~a_{k}\right|.}$

Przestrzeń cs z wyżej zdefiniowaną normą jest przestrzenią Banacha, która nie jest refleksywna. Można udowodnić, że przestrzenią sprzężoną do cs jest przestrzeń bv, tj. przestrzeń wszystkich ciągów liczbowych o wahaniu ograniczonym, tj. wszystkich takich ciągów ${\displaystyle (b_{n})_{n},}$ że

${\displaystyle \|(b_{n})_{n}\|=|b_{1}|+\sum _{k=1}^{\infty }|b_{k+1}-b_{k}|<\infty .}$

Przestrzeń cs jest izomorficzna z przestrzenią ${\displaystyle c_{0}}$, tj. przestrzenią wszystkich ciągów liczbowych zbieżnych do zera. Konstrukcja przestrzeni cs pochodzi od Eduarda Helly’ego.

Przypisy