Paczka falowa, pakiet falowy – fala skupiona w ograniczonym obszarze przestrzeni.

Pojęcie używane w do opisu rozprzestrzeniania się fal o skończonym czasie trwania. W mechanice kwantowej pakiety falowe opisują fale materii

W przeciwieństwie do nieskończonych (niezlokalizowanych) fal, paczka falowa jest zaburzeniem zlokalizowanym, przemieszcza się w przestrzeni i przenosi informacje i energię, a prędkość, z jaką to się odbywa, zwana jest prędkością grupową.

Swobodną paczkę falową można traktować jako superpozycję (złożenie) harmonicznych fal płaskich o różnych częstotliwościach.

Podejście matematyczne

Przykładem propagacji (rozchodzenia się) fali bez dyspersji jest fala płaska będąca rozwiązaniem równania falowego postaci:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\nabla ^{2}u},}$

gdzie:

${\displaystyle c}$ – prędkość propagacji fali w danym ośrodku,

${\displaystyle u}$ – zmienna charakteryzująca chwilową amplitudę fali w punkcie ${\displaystyle x}$ w chwili ${\displaystyle t.}$

Rozwiązaniem powyższego równania różniczkowego jest funkcja propagacji fali płaskiej:

${\displaystyle u({\vec {x}},t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} ({\vec {k}}{\vec {x}}-\omega t)},}$

gdzie:

${\displaystyle \mathrm {i} }$ – jednostka urojona,

${\displaystyle {\vec {k}}}$ – wektor falowy,

${\displaystyle \omega }$ – pulsacja (częstość kołowa),

Kwadrat długości wektora falowego ${\displaystyle {\vec {k}}}$ w przypadku przestrzeni 3-wymiarowej jest sumą kwadratów liczb falowych względem poszczególnych osi:

${\displaystyle |{\vec {k}}|^{2}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}.}$

Natomiast kwadrat pulsacji ${\displaystyle \omega }$ może być zapisany jako:

${\displaystyle \omega ^{2}=|{\vec {k}}|^{2}c^{2}.}$

Powyższa relacja pomiędzy ${\displaystyle \omega ,}$ a ${\displaystyle {\vec {k}}}$ jest prawdziwa, jeśli dana fala płaska jest rozwiązaniem równania falowego. Równanie to opisuje dyspersję fali w ośrodku materialnym.

Można uprościć to rozwiązanie, wybierając układ współrzędnych w taki sposób, aby fala płaska rozchodziła się w kierunku ${\displaystyle x.}$ Rozwiązanie równania falowego przyjmuje wtedy postać:

${\displaystyle u(x,t)=A\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (kx-\omega t)}+B\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} (kx+\omega t)},}$

w którym:

${\displaystyle \omega =kc,\,k=k_{x}.}$

Pierwszy człon powyższego równania reprezentuje propagację fali w kierunku dodatnich ${\displaystyle x,}$ jako że jest funkcją ${\displaystyle x-ct.}$ Drugi człon, będący funkcją ${\displaystyle x+ct,}$ reprezentuje propagację fali w kierunku ujemnych wartości ${\displaystyle x.}$

Jeśli paczka falowa jest silnie zlokalizowana, oznacza to, że ma więcej składowych koniecznych do konstruktywnej interferencji w obszarze paczki, i destruktywnej interferencji w obszarze gdzie następuje wygaszenie.

Przechodząc z dziedziny czasu ${\displaystyle t}$ do dziedziny pulsacji ${\displaystyle \omega ,}$ dokonuje się unitarnej transformacji Fouriera i otrzymuje się uogólnioną postać paczki falowej, poprawną z punktu widzenia podstawowego rozwiązania w 1-wymiarowej przestrzeni:

${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }A(k)~\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (kx-\omega (k)t)}\,\mathrm {d} k.}$

W przypadku gdy:

${\displaystyle \omega (k)=kc\Leftarrow u(x,t)=F(x-ct),}$

paczka porusza się w kierunku dodatnim, oraz w kierunku ujemnym gdy:

${\displaystyle \omega (k)=-kc\Leftarrow u(x,t)=F(x+ct).}$

Czynnik stojący przed całką pojawia się tutaj przez wykonanie transformacji Fouriera. Amplituda ${\displaystyle A(k)}$ w tym wzorze jest przez zależność dyspersyjną funkcją ${\displaystyle \omega .}$ Zawiera ona współczynniki liniowych superpozycji fal płaskich. Współczynniki te mogą zostać wyrażone jako funkcja ${\displaystyle u(x,t)}$ ewaluowana w granicy przy ${\displaystyle t=0,}$ z relacji wynikającą z odwrotnej transformacji Fouriera:

${\displaystyle A(k)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }u(x,0)~\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} kx}\,\mathrm {d} x.}$

Przypisy

Bibliografia

• http://www.if.pw.edu.pl/~pluta/pl/dyd/plg/w-fiz/w22/segment3/main.htm
• https://web.archive.org/web/20090404160014/http://physics.usask.ca/~hirose/ep225/animation/dispersion/anim-dispersion.html (ang.)