Moritz Pasch (ur. 8 listopada 1843 roku we Wrocławiu, zm. 20 września 1930 roku w Bad Homburg w Niemczech) – niemiecki matematyk, uważany za ojca nowego kanonu ścisłości w geometrii.

Życiorys

Pasch studiował na uniwersytecie we Wrocławiu, tam uzyskał stopień doktora, a następnie wykładał na uniwersytecie w Gießen. Zajmował się badaniem podstaw geometrii. W wydanym w roku 1882 swym głównym dziele Vorlesungen über neue Geometrie (Wykłady o nowej geometrii) podał przykład prawdziwego zdania w geometrii euklidesowej, którego nie da się logicznie wywieść z zestawu aksjomatów podanych w Elementach Euklidesa. Zdanie to, znane jako aksjomat Pascha w geometrii euklidesowej, można sformułować następująco: Prosta na płaszczyźnie, która nie przechodzi przez żaden z wierzchołków trójkąta i przecina jeden jego bok, przecina jeszcze drugi; jest to intuicyjnie oczywiste.

Pasch sformułował też potrzebę wyraźnego wyodrębnienia pojęć pierwotnych w geometrii; nazwał je Grundbegriff (pojęcie podstawowe), a w III wydaniu swej książki (1926) zmienił to na Kernbegriff.

Inną luką w aksjomatyce Euklidesa odkrytą przez Pascha był brak pojęcia pierwotnego relacji leżenia między dla trzech różnych punktów A, B, C leżących na jednej prostej. Zaliczył to do pojęć niezdefiniowanych i podał aksjomaty.

W opinii Pascha to, że niezależność jego aksjomatu od aksjomatów Euklidesa przez dwa tysiące lat uchodziła uwadze geometrów, dowodzi, iż wszyscy oni opierali się na intuicji pojęcia odcinka wyniesionej z doświadczenia. Sformułował program: zerwanie z odwoływaniem się do intuicji w dowodach. Stwierdził, że jakkolwiek intuicyjny sens rozważanych pojęć bywa użyteczny (sam w swym dziele ilustrował prowadzone wywody diagramami), rozumowanie musi być tak napisane, aby można było sprawdzić jego poprawność bez odwoływania się do rysunków. Z drugiej strony Pasch uznawał geometrię za część nauk przyrodniczych, w których abstrakcyjne pojęcia geometryczne mają swe źródło empiryczne, twierdził jednak, że od tych źródeł trzeba się oderwać przy dowodzeniu twierdzeń.

Sformalizowaną wersję aksjomatyki Pascha podał Giuseppe Peano w 1889.

Pasch w swej książce podał też pierwszy system aksjomatyczny geometrii rzutowej opartej na relacji incydencji.

Dalszym po Paschu istotnym krokiem w kierunku zwiększania ścisłości w aksjomatycznym ujęciu geometrii euklidesowej była książka Davida Hilberta Grundlagen der Geometrie (Podstawy geometrii) z 1899 roku.

Uwagi

  1. ↑ W książce Pascha nie pojawia się nieskończona prosta, są jedynie odcinki i ograniczone fragmenty płaszczyzny, uważał bowiem, że figury nieograniczone nie są nam dane w doświadczeniu.

Przypisy

  1. ↑ Niemiecki tekst tego dzieła reprodukowany jest w https://catalog.hathitrust.org/Record/000428827
  2. ↑ Krytyczne omówienie podejścia Pascha przedstawił Hans Freudenthal w artykule The main trends in the foundations of geometry in the 19th century, w: E. Nagel, P. Suppes, A. Tarski (eds), Methodology and Philosophy of Sciences, Proceedings of the 1960 International Congress, Stanford Univ. Press, Stanford CA, 1962, s. 613–621.

Linki zewnętrzne

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.