Macierz ortogonalna – macierz kwadratowa ${\displaystyle A\in M_{n}(\mathbb {R} )}$ o elementach będących liczbami rzeczywistymi spełniająca równość:

${\displaystyle A^{T}\cdot A=A\cdot A^{T}=I_{n},}$

gdzie ${\displaystyle I_{n}}$ oznacza macierz jednostkową wymiaru ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle A^{T}}$ oznacza macierz transponowaną względem ${\displaystyle A.}$

Uogólnieniem pojęcia na macierze zespolone są macierze unitarne, tzn. macierz ortogonalna jest macierzą unitarną o wyrazach rzeczywistych.

Macierze ortogonalne wymiaru n × n reprezentują np. przekształcenia ortogonalne (np. obroty, odbicia) n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Warunki równoważne ortogonalności macierzy

Niech ${\displaystyle A\in M_{n}(\mathbb {R} ).}$ Następujące warunki są równoważne:

1. ${\displaystyle A}$ jest macierzą ortogonalną
2. kolumny macierzy ${\displaystyle A,}$ traktowane jako wektory przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ tworzą bazę ortonormalną
3. wiersze macierzy ${\displaystyle A,}$ traktowane jako wektory przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ tworzą bazę ortonormalną
4. kolumny macierzy ${\displaystyle A,}$ traktowane jako wektory przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ tworzą układ ortonormalny
5. wiersze macierzy ${\displaystyle A,}$ traktowane jako wektory przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ tworzą układ ortonormalny
6. ${\displaystyle A^{T}A=I,}$ gdzie ${\displaystyle I}$ oznacza macierz jednostkową wymiaru ${\displaystyle n,}$ a ${\displaystyle A^{T}}$ oznacza macierz transponowaną względem ${\displaystyle A}$
7. ${\displaystyle AA^{T}=I,}$ gdzie ${\displaystyle I}$ oznacza macierz jednostkową wymiaru ${\displaystyle n,}$ a ${\displaystyle A^{T}}$ oznacza macierz transponowaną względem ${\displaystyle A}$
8. dla każdej bazy ortonormalnej ${\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{n}\}}$ przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ układ ${\displaystyle \{Av_{1},\ldots ,Av_{n}\}}$ jest bazą ortonormalną przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
9. macierz A jest odwracalna i ${\displaystyle A^{-1}=A^{T},}$ gdzie ${\displaystyle A^{-1}}$ oznacza macierz odwrotną do macierzy ${\displaystyle A,}$ a ${\displaystyle A^{T}}$ oznacza macierz transponowaną względem ${\displaystyle A}$
10. ${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{ij}a_{kj}=\delta _{ik},}$ gdzie ${\displaystyle \delta _{ik}}$ jest deltą Kroneckera
11. ${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{ji}a_{jk}=\delta _{ik},}$ gdzie ${\displaystyle \delta _{ik}}$ jest deltą Kroneckera
12. ${\displaystyle \forall _{x,y\in \mathbb {R} ^{n}}(Ax)\cdot (Ay)=x\cdot y}$
13. ${\displaystyle \forall _{x\in \mathbb {R} ^{n}}|Ax|=|x|}$

Własności macierzy ortogonalnych

• Wyznacznik macierzy ortogonalnej jest równy 1 lub –1.
• Jeśli ${\displaystyle A,B}$ są macierzami ortogonalnymi tego samego rzędu, to ich iloczyn ${\displaystyle AB}$ też jest macierzą ortogonalną.
• Macierz odwrotna do macierzy ${\displaystyle A}$ jest jej macierzą transponowaną, tj. ${\displaystyle A^{-1}=A^{T}.}$ Macierz ta też jest ortogonalna.
• Macierz jednostkowa jest ortogonalna.

Grupy O(n) oraz SO(n)

Przykłady

Poniżej podano przykłady macierzy ortogonalnych. Łatwo można to sprawdzić, wykonując obliczenia iloczynów skalarnych kolumn (traktowanych jako wektory), że są one wzajemnie ortogonalne; to samo dotyczy wierszy.

• Macierz jednostkowa dowolnego rzędu jest macierzą ortogonalną, np. ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}0{,}96&-0{,}28\\0{,}28&0{,}96\end{bmatrix}}}$

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos x&-\sin x\\\sin x&\cos x\end{bmatrix}}}$

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos x&\sin x\\\sin x&-\cos x\end{bmatrix}}}$

• ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1\\0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0\end{bmatrix}}}$

• ${\displaystyle \left[\!\!{\begin{array}{c}1&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&\ddots &&&&&&&&&\\0&&1&&&&&&&&\\0&&&-1&&&&&&&\\0&&&&\ddots &&&&&&\\0&&&&&-1&&&&&\\0&&&&&&\cos(\xi _{1})&-\sin(\xi _{1})&&&\\0&&&&&&\sin(\xi _{1})&\cos(\xi _{1})&&&\\0&&&&&&&&\ddots &&\\0&&&&&&&&&\cos(\xi _{k})&-\sin(\xi _{k})\\0&&&&&&&&&\sin(\xi _{k})&\cos(\xi _{k})\end{array}}\!\!\right]}$

Zobacz też

• macierz odwrotna
• macierz unitarna

Inne:

• macierz obrotu
• grupa obrotów

Przypisy

Bibliografia

• H. Guściora, M. Sadowski, Repetytorium z algebry liniowej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1979.
• J. Komorowski, Od liczb zespolonych, do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, PWN, Warszawa 1978.
• A.I. Kostrykin, J.I. Manin, Algebra liniowa i geometria, PWN, Warszawa 1993.
• A. Sołtysiak, Algebra liniowa, Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Poznań 1999, ISBN 83-232-1018-7.
• T. Trajdos, Matematyka, cz. III, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2012.

Linki zewnętrzne

• ToddT. Rowland ToddT., Orthogonal group, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).