Kryterium Leibniza – kryterium zbieżności szeregów naprzemiennych mówiące, że szereg naprzemienny, którego ciąg wyrazów jest nierosnący i zbieżny do ${\displaystyle 0,}$ jest zbieżny.

Kryterium

Jeżeli ciąg liczbowy ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }}$ o wyrazach nieujemnych spełnia następujące warunki:

1. ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=0,}$
2. ciąg ${\displaystyle a_{n}}$ jest nierosnący,

to szereg

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}}$

jest zbieżny.

Dowód

Zgodnie z założeniem

${\displaystyle a_{0}\geqslant a_{1}\geqslant a_{2}\geqslant a_{3}\geqslant \ldots \geqslant 0.}$

Niech

${\displaystyle S_{m}=\sum _{n=0}^{m}(-1)^{n}a_{n}}$

oznacza ${\displaystyle m}$-tą sumę częściową rozważanego szeregu.

Podciąg ciągu sum częściowych postaci

${\displaystyle \left(S_{2N-1}\right)_{N=1}^{\infty }}$

jest niemalejący i ograniczony z góry, a zatem zbieżny. Istotnie,

${\displaystyle S_{2N+1}-S_{2N-1}=a_{2N}-a_{2N+1}\geqslant 0}$

(ciąg ten jest nierosnący) oraz

${\displaystyle S_{2N+1}\ =a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\ldots +a_{2N}-a_{2N+1}\leqslant a_{0}-a_{2}+a_{2}-a_{4}+\ldots +a_{2N}-a_{2N+2}=a_{0}-a_{2N+2}\leqslant a_{0}}$

(ciąg ten jest ograniczony). Niech

${\displaystyle s=\lim _{N\to \infty }S_{2N+1}.}$

Aby zakończyć dowód, trzeba pokazać, że

${\displaystyle s=\lim _{N\to \infty }S_{2N}.}$

Rzeczywiście,

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }S_{2N}=\lim _{N\to \infty }\left(S_{2N-1}+a_{2N}\right)=\lim _{N\to \infty }S_{2N-1}+\lim _{N\to \infty }a_{2N}=s+0}$.

Przykład zastosowania

• Szereg anharmoniczny

${\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\ldots }$

jest zbieżny, jako szereg naprzemienny, którego ciąg wyrazów jest malejący i zbieżny do ${\displaystyle 0}$.

• w szeregu Grandiego ${\displaystyle 1-1+1-1\dots }$ ciąg wyrazów ${\displaystyle a_{n}=1}$ jest nierosnący,

w szeregu ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\,(1+{\tfrac {1}{n}})}$ ciąg wyrazów ${\displaystyle a_{n}=1+{\tfrac {1}{n}}}$ jest malejący.

W żadnym z tych szeregów ciąg wyrazów ${\displaystyle (a_{n})}$ nie jest zbieżny do ${\displaystyle 0}$ i oba szeregi są rozbieżne

• w szeregu ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\,a_{n},}$ gdzie ${\displaystyle a_{2n}={\tfrac {1}{n^{2}}},\quad a_{2n-1}={\tfrac {1}{n}}}$ ciąg wyrazów ${\displaystyle (a_{n})}$ jest zbieżny do ${\displaystyle 0,}$ ale nie jest nierosnący i szereg jest rozbieżny.

Przypisy

Bibliografia

• Kazimierz Kuratowski: Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1967.

Literatura dodatkowa

• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 2. Warszawa: PWN, 1966.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Leibniz Criterion, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-02-09].
• Leibniz criterion (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-02-09].