Kryterium Jermakowa – kryterium zbieżności szeregów liczbowych o wyrazach nieujemnych udowodnione przez W.P. Jermakowa.

Twierdzenie

Niech ${\displaystyle f\colon [1;\infty )\to \mathbb {R} }$ będzie nieujemną, malejącą funkcją ciągłą. Jeżeli dla dostatecznie dużych ${\displaystyle x,}$ tj. ${\displaystyle x\geqslant x_{0}}$ dla pewnego ${\displaystyle x_{0},}$ spełniona jest nierówność

${\displaystyle {\frac {f(e^{x})\cdot e^{x}}{f(x)}}\leqslant q<1,}$

to szereg

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)}$

jest zbieżny. W przypadku gdy dla dostatecznie dużych ${\displaystyle x}$ zachodzi nierówność

${\displaystyle {\frac {f(e^{x})\cdot e^{x}}{f(x)}}\geqslant 1,}$

to szereg ten jest rozbieżny.

Przykłady zastosowania

• Niech ${\displaystyle r>0}$ oraz

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x\cdot \ln ^{1+r}(x)}}.}$

Wówczas

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(e^{x})\cdot e^{x}}{f(x)}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\ln ^{1+r}(x)}{x^{r}}}=0,}$

a więc dla dostatecznie dużych ${\displaystyle x}$ wyrażenie to nie przekracza, na przykład, ${\displaystyle q=1/2.}$ Oznacza to, że szereg

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n\cdot \ln ^{1+r}(n)}}}$

jest zbieżny.

• Niech

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x\cdot \ln x\cdot \ln \ln x}}.}$

Wówczas

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {f(e^{x})\cdot e^{x}}{f(x)}}=\infty ,}$

a więc dla dostatecznie dużych ${\displaystyle x}$ wyrażenie to jest większe o ${\displaystyle 1.}$ Oznacza to, że szereg

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n\cdot \ln n\cdot \ln \ln n}}}$

jest rozbieżny.

Przypisy

Bibliografia

• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966.