Interpolacja kwadratowa – szczególny przypadek interpolacji wielomianowej za pomocą wielomianu drugiego stopnia.

Wzór interpolacyjny Stirlinga

Jeśli dla funkcji kwadratowej ${\displaystyle f}$ (rząd = 2) znane są 3 punkty (liczba węzłów = rząd funkcji + 1) równo odległe od siebie (kroku ${\displaystyle h\neq 0,}$ różnice centralne):

${\displaystyle y_{-1}=f(x_{0}-h),}$

${\displaystyle y_{0}=f(x_{0}),}$

${\displaystyle y_{+1}=f(x_{0}+h),}$

wówczas wzór wielomianu kwadratowego przechodzącego przez powyższe 3 punkty (węzły) otrzymujemy:

${\displaystyle f(x)=y_{0}+{\frac {y_{+1}-y_{-1}}{2}}\cdot {\frac {x-x_{0}}{h}}+{\frac {y_{+1}-2y_{0}+y_{-1}}{2}}\cdot \left({\frac {x-x_{0}}{h}}\right)^{2}.}$

Rozwiązanie za pomocą układu równań

Mając 3 punkty:

${\displaystyle y_{1}=f(x_{1}),}$

${\displaystyle y_{2}=f(x_{2}),}$

${\displaystyle y_{3}=f(x_{3}),}$

mamy znaleźć wzór funkcji kwadratowej

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,}$

czyli obliczyć współczynniki: ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b}$ i ${\displaystyle c.}$

Tworzymy układ 3 równań liniowych z 3 niewiadomymi i go rozwiązujemy.

Przypisy