Funkcja zeta Riemanna

Niech ${\displaystyle \zeta }$ będzie funkcją zeta Riemanna, zdefiniowaną jako

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}$

dla dowolnej liczby zespolonej ${\displaystyle s,}$ przy ${\displaystyle \Re (s)>1.}$ Wówczas

${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)^{-1}.}$

Z funkcją ${\displaystyle \zeta }$ związanych jest więcej iloczynów Eulera, które wykorzystywane są w dowodach twierdzeń korzystających z jej własności.

${\displaystyle {\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{s}}}\right)^{-1}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}},}$

gdzie ${\displaystyle \lambda }$ jest funkcją Liouville’a.

${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$

oraz

${\displaystyle {\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}=\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{s}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}},}$

gdzie ${\displaystyle \mu }$ to funkcja Möbiusa.

Funkcje L Dirichleta

Funkcja zeta jest szczególnym przypadkiem o wiele szerszej klasy funkcji L Dirichleta. Niech

${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}},}$

gdzie ${\displaystyle \chi }$ jest ustalonym charakterem Dirichleta przy danym module ${\displaystyle q,}$ a ${\displaystyle s}$ jest dowolną liczbą zespoloną z ${\displaystyle \Re (s)>1.}$ Wtedy

${\displaystyle L(s,\chi )=\prod _{p}\left(1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}\right)^{-1}.}$