Funkcje specjalne – umowna nazwa grupy funkcji, które nie są funkcjami elementarnymi, a jednocześnie odgrywają ważną rolę w wielu dziedzinach nauki. Podstawowe funkcje specjalne są rozwiązaniami równań różniczkowych liniowych rzędu drugiego, o zmiennych współczynnikach. Niektóre funkcje specjalne stanowią rozwiązania równań różniczkowych nieliniowych drugiego i wyższych rzędów.

Niektóre funkcje specjalne zostały szczegółowo przebadane i stablicowane, a wiele programów komputerowych może obliczać ich wartości z dowolną dokładnością.

Funkcje związane z	Symbol	Nazwa	Komentarz
funkcją Γ	${\displaystyle \Gamma (z)}$	Funkcja gamma Eulera	uogólnienie silni
	${\displaystyle \psi (z)}$	Logarytmiczna pochodna funkcji gamma	zwana również funkcją digamma
	${\displaystyle \psi ^{(n)}(z)}$	Funkcja poligamma
	${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)}$	Funkcja beta Eulera	powiązana ze współczynnikami dwumianowymi
funkcją błędu i całkami wykładniczymi	${\displaystyle \mathrm {erf} (x)}$	Funkcja błędu Gaussa	ściśle związana z rozkładem normalnym Gaussa
	${\displaystyle \mathrm {erfc} (x)}$	Uzupełniająca funkcja błędu
	${\displaystyle \omega (x)}$	Zespolona funkcja błędu
	${\displaystyle S(z),C(z)}$	Całki Fresnela (sinus i cosinus Fresnela)	stosowane w optyce
	${\displaystyle \mathrm {ei} \,x}$	Funkcja całkowo-wykładnicza
	${\displaystyle \mathrm {li} \,x}$	Logarytm całkowy
	${\displaystyle \mathrm {si} \,x,\mathrm {ci} \,x,\mathrm {shi} \,x}$	Sinus i cosinus całkowy oraz całkowy sinus hiperboliczny
z funkcją ζ	${\displaystyle \zeta (z)}$	Funkcja dzeta Riemanna	ważna w teorii liczb i związana z hipotezą Riemanna
	${\displaystyle \eta (z)}$	Funkcja eta Dirichleta
	${\displaystyle \mathrm {Li} _{\nu }(z)}$	Polilogarytmy
całkami i funkcjami eliptycznymi	${\displaystyle F(k,\psi ),E(k,\psi )}$	Całki eliptyczne niezupełne I i II stopnia	pojawiają się np. podczas obliczania długości łuku elipsy
	${\displaystyle \mathrm {K} (k),\mathrm {E} (k)}$	Całki eliptyczne zupełne I i II stopnia	otrzymuje się poprzez podstawienie do całek zupełnych ψ = π/2
	${\displaystyle \mathrm {sn} (u,k),\mathrm {cn} (u,k)}$	Funkcje eliptyczne Jacobiego	odwrotne do całek eliptycznych, zwane też funkcjami amplitudy
	${\displaystyle F(a,b;c;z)}$	Funkcja hipergeometryczna	za pomocą tej funkcji można łatwo wyrazić całki eliptyczne oraz wiele innych znanych funkcji
wielomianami ortogonalnymi	${\displaystyle P_{n}(x)}$	Wielomiany Legendre'a	rozwiązania równania Legendre'a
	${\displaystyle P_{n}^{m}(x)}$	Stowarzyszone wielomiany Legendre'a
	${\displaystyle L_{n}(x)}$	Wielomiany Laguerre'a	występują m.in. w mechanice kwantowej
	${\displaystyle L_{n}^{\alpha }(x)}$	Stowarzyszone wielomiany Laguerre'a	dla α=0 otrzymuje się "normalne" wielomiany Laguerre'a
	${\displaystyle H_{n}(x)}$	Wielomiany Hermite'a
	${\displaystyle T_{n}(x),U_{n}(x)}$	Wielomiany Czebyszewa I i II rodzaju
	${\displaystyle G_{n}^{m}(x)}$	Wielomiany Gegenbauera
	${\displaystyle J_{n}^{(a,b)}(x)}$	Wielomiany Jacobiego	można z nich otrzymać wielomiany Gegenbauera, Legendre'a oraz Czebyszewa I i II rodzaju
	${\displaystyle Y_{lm}(\theta ,\phi )}$	Harmoniki sferyczne	mają zastosowanie w astronomii, mechanice i elektrodynamice
funkcjami Bessela	${\displaystyle J_{\nu }(z),Y_{\nu }(z)}$	Funkcje Bessela	zastosowanie w wielu zagadnieniach fizyki matematycznej, w których występuje symetria cylindryczna, np. w astronomii, elektrodynamice
	${\displaystyle I_{\nu }(x),K_{\nu }(x)}$	Zmodyfikowane funkcje Bessela
	${\displaystyle H_{\nu }^{(1)}(x),H_{\nu }^{(2)}(x)}$	Funkcje Hankela
funkcjami odwrotnymi	${\displaystyle \mathrm {gd} \,x}$	Funkcja Gudermanna	amplituda hiperboliczna, gudermanian
	${\displaystyle W(x)}$	Funkcja W Lamberta	funkcja odwrotna do funkcji f(x) = xex

Inne funkcje specjalne:

• funkcje Mathieu - funkcje eliptycznego cylindra
• funkcje Webera-Hermite'a - funkcje parabolicznego cylindra
• funkcje Heinego
• funkcje Wangereina
• funkcje Blasiusa
• funkcje Falknera-Skanna

Przypisy

Bibliografia

• G. A. Korn, T. M. Korn, Matematyka dla pracowników naukowych i inżynierów, cz. 2, PWN, Warszawa 1983.
• M. Abramowitz, I. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, http://www.math.hkbu.edu.hk/support/aands/toc.htm.

Linki zewnętrzne

• Special functions (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].