Całka Birkhoffa – jedno z możliwych pojęć całki dla funkcji o wartościach w przestrzeniach Banacha, wprowadzone przez Garretta Birkhoffa w roku 1935. Pojęcie całkowalności funkcji w sensie Birkhoffa jest silniejsze od całkowalności sensie Pettisa, ale słabsze od całkowalności w sensie Bochnera.

Konstrukcja

Niech ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$ będzie zupełną przestrzenią probabilistyczną oraz ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią Banacha.

• Przeliczalną rodzinę ${\displaystyle \Gamma \subseteq {\mathcal {A}}}$ nazywamy partycją przestrzeni ${\displaystyle \Omega }$ jeżeli

${\displaystyle \bigcup \Gamma =\Omega .}$

• Jeżeli ${\displaystyle \Gamma =\{A_{n}\colon \,n\in \mathbb {N} \}}$ jest partycją przestrzeni ${\displaystyle \Omega ,}$ to funkcję ${\displaystyle f\colon \Omega \to X}$ nazywamy sumowalną względem partycji ${\displaystyle \Gamma }$ (albo ${\displaystyle \Gamma }$-sumowalną) jeżeli dla każdego zbioru ${\displaystyle A_{n}\in \Gamma }$ takiego, że ${\displaystyle \mu (A_{n})>0}$ funkcja ${\displaystyle f\upharpoonright A_{n}}$ jest ograniczona oraz zbiór ${\displaystyle J(f,\Gamma )}$ składa się z szeregów bezwarunkowo zbieżnych, gdzie

${\displaystyle J(f,\Gamma )=\left\{\sum _{n=0}^{\infty }f(t_{n})\mu (A_{n})\colon \,t_{n}\in A_{n}\right\}.}$

• Funkcję ${\displaystyle f\colon \Omega \to X}$ nazywamy całkowalną w sensie Birkhoffa jeżeli dla każdego ${\displaystyle \varepsilon >0}$ istnieje partycja ${\displaystyle \Gamma =\{A_{n}\colon \,n\in \mathbb {N} \}}$ zbioru ${\displaystyle \Omega }$ względem której funkcja ${\displaystyle f}$ jest sumowalna oraz

${\displaystyle {\mbox{diam}}\,J(f,\Gamma )<\varepsilon .}$

• Twierdzenie Birkhoffa: Jeżeli ${\displaystyle f\colon \Omega \to X}$ jest całkowalna w sensie Birkhoffa, to

${\displaystyle \left|\bigcap \left\{{\mbox{cl conv}}J(f,\Gamma )\colon \,f{\mbox{ - }}\Gamma {\mbox{-sumowalna}}\right\}\right|=1.}$

W powyższym wzorze cl oznacza domknięcie zbioru w sensie normy przestrzeni X natomiast conv oznacza otoczkę wypukłą.

Jeżeli ${\displaystyle f\colon \Omega \to X}$ jest całkowalna w sensie Birkhoffa, to jedyny punkt zbioru

${\displaystyle \bigcap \left\{{\mbox{cl conv}}J(f,\Gamma )\colon \,f{\mbox{ - }}\Gamma {\mbox{-sumowalna}}\right\}}$

nazywamy całką Birkhoffa z funkcji ${\displaystyle f}$ względem miary ${\displaystyle \mu }$ i oznaczamy

${\displaystyle (B)\int _{\Omega }f\,d\mu .}$

Przypisy