Zastosowania

Wskaźnik uwarunkowania macierzy pozwala na oszacowanie, z jaką (maksymalnie) dokładnością (do ilu miejsc po przecinku) możemy podać wynik. Dokładność jest zależna od iloczynu epsilonu maszynowego i wskaźnika uwarunkowania. Załóżmy dla przykładu, że mamy macierz ${\displaystyle \mathbf {A} {:}}$

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}},}$

${\displaystyle \mathbf {A^{-1}} ={\begin{bmatrix}-2&1\\1{,}5&-0{,}5\end{bmatrix}}.}$

Stosując tak zdefiniowaną normę: ${\displaystyle \|A\|=max_{1<i<n}\sum _{j=1}^{n}|a_{ij}|}$ możemy obliczyć wskaźnik uwarunkowania ${\displaystyle \kappa (A)=\|A^{-1}\|\cdot \|A\|=21.}$

Załóżmy dodatkowo, że mamy do czynienia z maszyną, która przechowuje liczby rzeczywiste używając 24-bitowej mantysy, wtedy epsilon maszynowy wynosi ${\displaystyle \varepsilon _{masz}=2^{1-24}=0{,}119209\cdot 10^{-6}.}$ Po pomnożeniu tych wartości możemy oszacować do ilu miejsc po przecinku otrzymany wynik będzie istotny na podstawie poniższej równości:

${\displaystyle 5\cdot 10^{-m}=0{,}25\cdot 10^{-7}.}$

Obliczając m, możemy wnioskować, że w tym przypadku dokładność wyniesie 6 miejsc po przecinku.

Jako inny przykład rozpatrzmy prosty układ równań typu ${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {x} =\mathbf {b} .}$ Jeśli do naszych obliczeń wybierzemy macierz o wysokim wskaźniku uwarunkowania, np.:

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\2&3{,}999\end{bmatrix}};\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}4\\7{,}999\end{bmatrix}};}$ ${\displaystyle cond(\mathbf {A} )=35\ 988,}$

to otrzymane rozwiązanie jest niestabilne. Oznacza to, że mała zmiana wartości współczynników może znacząco wpłynąć na wynik.

W podanym wyżej przypadku rozwiązanie wynosi ${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}.}$ Jeśli zmodyfikujemy następująco wektor ${\displaystyle \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}4\\8\end{bmatrix}},}$ to otrzymamy rozwiązanie ${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}4\\0\end{bmatrix}}.}$

W przypadku macierzy dobrze uwarunkowanej np.:

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\2&3\end{bmatrix}};\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}4\\7{,}999\end{bmatrix}};}$ ${\displaystyle cond(\mathbf {A} )=25,}$

rozwiązanie wynosi ${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}3{,}998\\0{,}001\end{bmatrix}}.}$

Jeśli zmodyfikujemy następująco wektor ${\displaystyle \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}4\\8\end{bmatrix}},}$ to otrzymamy rozwiązanie ${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}4\\0\end{bmatrix}},}$ które jest zbliżone do poprzedniego.