Twierdzenie o residuach – twierdzenie analizy zespolonej dostarczające metody obliczania wartości całek krzywoliniowych – konkretniej całek okrężnych – funkcji meromorficznych. Uogólnia ono twierdzenie Cauchy’ego (orzekające, że całka po drodze zamkniętej z funkcji holomorficznej jest równa zeru). Twierdzenie o residuach umożliwia obliczenie niektórych bardziej złożonych całek rzeczywistych.

Twierdzenie

Niech ${\displaystyle U}$ będzie obszarem jednospójnym na płaszczyźnie zespolonej ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ a ponadto ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in U}$ oraz ${\displaystyle f:U\setminus \{a_{1},\dots ,a_{n}\}\longrightarrow {\mathbb {C} }}$ będzie funkcją holomorficzną.

Jeżeli ${\displaystyle \gamma }$ jest zamkniętą krzywą prostowalną zawartą w ${\displaystyle U\setminus \{a_{1},\dots ,a_{n}\},}$ to

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {I} (\gamma ,a_{k})\operatorname {Res} (f,a_{k}).}$

Jeśli ${\displaystyle \gamma }$ jest krzywą Jordana, to ${\displaystyle \operatorname {I} (\gamma ,a_{k})=1}$ więc

${\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Res} (f,a_{k}).}$

Powyżej, ${\displaystyle \operatorname {Res} (f,a_{k})}$ oznacza residuum funkcji f w ${\displaystyle a_{k},}$ a ${\displaystyle \operatorname {I} (\gamma ,a_{k})}$ to indeks punktu ${\displaystyle a_{k}}$ względem krzywej ${\displaystyle \gamma .}$

Zobacz też

• wzór całkowy Cauchy’ego

Bibliografia

• Stanisław Saks, Antoni Zygmund: Funkcje analityczne. Warszawa-Lwów-Wilno: 1938, s. 185–188, seria: Monografie Matematyczne. Tom 10. Plik pdf jest dostępny z serwisu Biblioteka Wirtualna Nauki.