Spirala Fermata, spirala paraboliczna – krzywa na płaszczyźnie, będąca uogólnieniem spirali Archimedesa. Ma tę właściwość, że pole powierzchni zawarte pomiędzy dwoma kolejnymi pełnymi zwojami spirali jest stałe. W rezultacie odległość między zwojami maleje, w przeciwieństwie do spirali Archimedesa (dla której ta odległość jest stała) i spirali logarytmicznej (dla której odległość między zwojami spirali jest proporcjonalna do ich odległości od środka).

Spirala Fermata jest tak nazwana na cześć Pierre’a de Fermata.

Spirala Fermata znalazła zastosowanie w modelowaniu wzrostu roślin i kształtów niektórych galaktyk spiralnych, a także w projektowaniu kondensatorów o zmiennych pojemnościach, luster słonecznych i cyklotronów.

Współrzędne biegunowe

(I) We współrzędnych biegunowych spirala Fermata obracająca się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara dana jest równaniami:

${\displaystyle {\begin{cases}r=+a{\sqrt {\varphi }}\\r=-a{\sqrt {\varphi }}\end{cases}}}$

gdzie ${\displaystyle \varphi \in <0,+\infty ),}$ ${\displaystyle a}$ – stały parametr spirali: im większa jego wartość, tym większa odległość między zwojami spirali, przy czym: (1) gdy ${\displaystyle a>0,}$ to pierwsze równania opisuje gałąź spirali jak na rysunku obok, zaś drugie równanie opisuje drugą gałąź (por. rysunek górny); (2) gdy ${\displaystyle a<0,}$ to ramiona są zamienione miejscami.

(II) Podobnie, we współrzędnych biegunowych spirala Fermata obracająca się zgodnie z ruchem wskazówek zegara dana jest równaniami:

${\displaystyle {\begin{cases}r=+a{\sqrt {-\varphi }}\\r=-a{\sqrt {-\varphi }}\end{cases}}}$

gdzie ${\displaystyle \varphi \in (-\infty ,0>),}$ ${\displaystyle a}$ – stały parametr spirali.

Współrzędne kartezjańskie

Przechodząc od równania we współrzędnych biegunowych do równania we współrzędnych kartezjańskich za pomocą przekształceń:

${\displaystyle {\begin{cases}x=r\cos \varphi \\y=r\sin \varphi \end{cases}}}$

równanie parametryczne jednej gałęzi spirali Fermata obracającej się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara przyjmuje postać:

${\displaystyle {\begin{cases}x(\varphi )=+a{\sqrt {\varphi }}\cos(\varphi )\\y(\varphi )=+a{\sqrt {\varphi }}\sin(\varphi )\end{cases}}}$

a równanie drugiej gałęzi przyjmie postać:

${\displaystyle {\begin{cases}x(\varphi )=-a{\sqrt {\varphi }}\cos(\varphi )\\y(\varphi )=-a{\sqrt {\varphi }}\sin(\varphi )\end{cases}}}$

przy czym ${\displaystyle \varphi \in <0,+\infty )}$ – kąt, ${\displaystyle a}$ – stały parametr spirali.

Dla spirali obracającej się zgodnie z ruchem wskazówek zegara równania są analogiczne.

Zobacz też

• lista krzywych
• loksodroma
• spirala Archimedesa
• spirala hiperboliczna
• spirala logarytmiczna
• spirala złota

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Fermat’s Spiral, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• Online exploration using JSXGraph (JavaScript)