Zbiór elementów niegenerujących

Niech ${\displaystyle S}$ będzie zbiorem wszystkich elementów niegenerujących w ${\displaystyle G,}$ tj. takich ${\displaystyle x\in G,}$ że jeżeli pozdzbiór ${\displaystyle M\subset G}$ zawierający ${\displaystyle x}$ generuje ${\displaystyle G}$ to ${\displaystyle M\backslash \{x\}}$ też generuje ${\displaystyle G.}$ Wówczas zbiór ${\displaystyle S}$ pokrywa się z ${\displaystyle \Phi (G).}$

Dowód

• ${\displaystyle S\subseteq \Phi (G).}$

Jeśli ${\displaystyle G}$ nie zawiera podgrup maksymalnych – inkluzja jest oczywista. Niech ${\displaystyle x\in S.}$ Niech ${\displaystyle H}$ będzie podgrupą maksymalną. Jeśli ${\displaystyle x\notin H}$ to ${\displaystyle (x,H)=G}$ (${\displaystyle H}$ jest podgrupą maksymalną nie zawierającą ${\displaystyle x,}$ zatem wspólnie generują całą przestrzeń). Ale ${\displaystyle (H)\neq G}$ co stoi w sprzeczności z tym, że ${\displaystyle x}$ jest elementem niegenerującym. Czyli ${\displaystyle x}$ musi należeć do każdej podgrupy maksymalnej. Stąd ${\displaystyle x\in \Phi (G).}$

• ${\displaystyle \Phi (G)\subseteq S}$

Niech istnieje element ${\displaystyle x\in \Phi (G)}$ który wraz z pewnym zbiorem ${\displaystyle M}$ generuje ${\displaystyle G,}$ lecz ${\displaystyle (M)\neq G.}$ Na mocy Lematu Kuratowskiego-Zorna istnieją podgrupy ${\displaystyle H}$ maksymalne wśród podgrup zawierających ${\displaystyle M}$ i niezawierających ${\displaystyle x.}$ Jest jasne, że wszystkie takie podgrupy są po prostu maksymalne, lecz wówczas zawierają one ${\displaystyle \Phi (G),}$ a wraz z nią element ${\displaystyle x}$ co stoi w sprzeczności z konstrukcją.