Kostka Mengera

Kostka Mengera, gąbka Mengera – bryła fraktalna, trójwymiarowy odpowiednik zbioru Cantora i dywanu Sierpińskiego. Wymiar fraktalny kostki Mengera wynosi:

\log _{3}20=\ln 20/\ln 3\approx 2{,}726833.

Konstrukcja kostki została podana przez austriackiego matematyka Karla Mengera w roku 1927.

Konstrukcja

Kostka Mengera powstaje w następujący sposób:

Dany jest sześcian (foremny).
Tniemy go na 27 sześcianów równej wielkości płaszczyznami równoległymi do ścian.
Usuwamy wszystkie sześciany przyległe do środków ścian pierwotnego sześcianu oraz sześcian znajdujący się w jego środku.
Do każdego z 20 pozostałych sześcianów stosujemy poprzednią procedurę.

Po nieskończonej liczbie powtórzeń opisanych operacji otrzymujemy kostkę Mengera.

Poniższy pseudokod, będący rekurencyjną implementacją kostki Mengera, wykorzystywany jest często w wielu językach programowania, przy czym:

n – złożoność – liczba całkowita nieujemna,
x, y, z – współrzędne środka,
d – długość krawędzi:

Menger(n,x,y,z,d):
 jeżeli n=0
  to utwórzSześcian(x,y,z,d)
  w przeciwnym przypadku
   dla i={-1,0,1}
    dla j={-1,0,1}
     dla k={-1,0,1}
      jeżeli (i*i+j*j)*(i*i+k*k)*(j*j+k*k)>0
       to Menger(n-1,x+i*d/3,y+j*d/3,z+k*d/3,d/3)

Sześcian
1. iteracja
2. iteracja
3. iteracja
4. iteracja
5. iteracja

Własności

Każda ściana kostki jest dywanem Sierpińskiego. Przekątna kostki jest zbiorem Cantora. Kostka jest zwartym podzbiorem przestrzeni euklidesowej, a jej miara Lebesgue’a jest równa 0.

Definicje formalne

Definicja rekurencyjna

Precyzyjne określenie kostki Mengera jest następujące:

M:=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }M_{n},

gdzie $M_{0}$ oznacza sześcian $\{(x,y,z):0\leqslant x,y,z\leqslant 1\}$

M_{n+1}:=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:\ {\exists i,j,k\in \{0,1,2\}:(3x-i,3y-j,3z-k)\in M_{n} \atop {\mbox{ i co najwyżej jedna z liczb }}i,j,k{\mbox{ jest rowna 1 }}}\right\}.

Definicja nierekurencyjna

Kostkę Mengera można też zdefiniować w równoważny sposób, nie używając rekurencji.

Kostka Mengera to domknięcie zbioru punktów $(x,y,z)$ takich, że $0\leqslant x,y,z\leqslant 1$ i w nieskończonych rozwinięciach współrzędnych $x,y,z$ w trójkowym systemie liczbowym nigdzie na tej samej pozycji cyfra 1 nie występuje więcej niż jeden raz.

Dokładna kostka Sierpińskiego

Kostka Mengera nie jest dokładnym odpowiednikiem kostki Sierpińskiego. Używając dokładnie logiki konstrukcji dwuwymiarowej dywanu w trzech wymiarach, należy z każdą rekurencją usuwać jedynie zmniejszoną kostkę centralną bez kostek bocznych. Inaczej w dywanie należałoby usuwać nie jeden, a pięć kwadratów tworzących razem krzyż grecki. Oczywiście struktura fraktalna takiej kostki nie jest widoczna od razu bez jej przecięcia. Ponieważ liczba elementów wypełniających rośnie teraz o czynnik $26$ przy zachowaniu skali zmniejszania, jest ona prawie trójwymiarowa i jej wymiar Hausdorffa wynosi:

\log _{3}26=\ln 26/\ln 3\approx 2{,}965647.

W podobny sposób można konstruować inne kostki fraktalne, usuwając w każdym kroku z większych kostek dowolną liczbę $N$ kostek mniejszych w skali $1/3,$ np. kostkę centralną i $8$ kostek narożnych, i w ogólności niesymetrycznie. Większość tak skonstruowanych kostek jest także dziwnymi geometrycznie w przestrzeni trójwymiarowej fraktalami o wymiarze Hausdorffa

\log _{3}(27-N)=\ln(27-N)/\ln 3

nie będącym liczbą naturalną.

Jedynie rekurencyjne usuwanie 26 kostek, zostawiając jedną w rogu, zbiega do trywialnego jednego punktu o wymiarze $0.$

Zobacz też

Linki zewnętrzne

Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Menger Sponge, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).
Prosty model kostki Mengera

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.