• w teorii grup: grupa w zapisie multiplikatywnym – grupa, w której działanie grupowe zapisywane jest za pomocą znaku ${\displaystyle \cdot ,}$ branie elementu odwrotnego przez ⁻¹, element neutralny zaś oznaczony jest przez ${\displaystyle 1}$;
• w teorii pierścieni, ciał, algebr grupa multiplikatywna ${\displaystyle (R^{*},\cdot )}$ pierścienia, ciała, algebry łącznej ${\displaystyle R}$ to zbiór elementów odwracalnych pierścienia, ciała, algebry łącznej z działaniem mnożenia; często używane oznaczenia: ${\displaystyle R^{*},}$ ${\displaystyle R^{\cdot },}$ ${\displaystyle U(R);}$

  ${\displaystyle R^{*}=\{x\in R:\exists _{y\in R}\left[xy=1\right]\};}$

${\displaystyle R}$ jest pierścieniem z dzieleniem (algebrą łączną z dzieleniem) wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle R^{*}=R\setminus \{0\};}$ w przeciwnym razie zbiór ${\displaystyle R^{*}}$ jest mniejszy, np. ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{*}=\{1,-1\};}$

• algebraiczny torus ${\displaystyle GL_{1}}$ jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego pojęcia snopa ${\displaystyle \mathbb {G} _{m},}$ ale pojawia się często poza geometrią algebraiczną pod nazwą grupa multiplikatywna; jest rozmaitością grupową.
• w geometrii algebraicznej: snop grup abelowych ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ reprezentowany przez schemat grupowy ${\displaystyle \mathrm {Spec} \mathbb {Z} \left[X,X^{-1}\right];}$ grupą przekrojów tego snopa nad afinicznym zbiorem otwartym ${\displaystyle \mathrm {Spec} R}$ jest grupa homomorfizmów pierścieni ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[X,X^{-1}\right]\to R}$; ta grupa jest naturalnie izomorficzna z grupą ${\displaystyle R^{*}{:}}$ homomorfizmowi ${\displaystyle f:\mathbb {Z} \left[X,X^{-1}\right]\to R}$ odpowiada jednoznacznie element ${\displaystyle f(X),}$ przy czym ${\displaystyle f(X)f(X^{-1})=1;}$

Sam schemat ${\displaystyle \mathrm {Spec} \mathbb {Z} \left[X,X^{-1}\right]}$ też jest nazywany grupą multiplikatywną.

Zobacz też

• grupa
• grupa addytywna
• multiplikatywna grupa klas reszt

Uwagi

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Multiplicative Group, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-04-16].
• Multiplicative group (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-11].