Funkcje amplitudy – funkcje, których argumentem jest tzw. amplituda, tj. wielkość odwrotna w stosunku do całki eliptycznej pierwszego rodzaju.

Amplituda

Całka eliptyczna pierwszego rodzaju dana jest wzorem:

${\displaystyle u(\phi ,k^{2})\;=\;F(\phi ,k)\;{\stackrel {\text{df}}{=}}\;\int \limits _{0}^{\phi }{\frac {d\xi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\xi }}}.}$

Funkcja odwrotna do niej nosi nazwę amplitudy zmiennej ${\displaystyle u}$ z parametrem ${\displaystyle k^{2}{:}}$

${\displaystyle \phi ={\text{am}}(u,k^{2}).}$

Podstawowe funkcje amplitudy

1. Sinus amplitudy

${\displaystyle {\text{sn}}(u,k)\;{\stackrel {\text{df}}{=}}\;\sin \phi \;=\;\sin {\text{am}}(u,k^{2})}$

2. Cosinus amplitudy

${\displaystyle {\text{cn}}(u,k)\;{\stackrel {\text{df}}{=}}\;\cos \phi \;=\;\cos {\text{am}}(u,k^{2})}$

3. Delta amplitudy

${\displaystyle {\text{dn}}(u,k)\;{\stackrel {\text{df}}{=}}\;{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\phi }}\;=\;{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\{{\text{am}}(u,k^{2})\}}}}$

Funkcje amplitudy ${\displaystyle {\text{sn}}(u,k),{\text{cn}}(u,k),{\text{dn}}(u,k)}$ noszą nazwę funkcji eliptycznych Jakobiego.

Własności

Funkcje amplitudy ${\displaystyle {\text{sn}}(u,k),{\text{cn}}(u,k),{\text{dn}}(u,k)}$ stanowią uogólnienie funkcji trygonometrycznych i hiperbolicznych, gdyż:

${\displaystyle {\text{sn}}^{2}(z,k)+{\text{cn}}^{2}(z,k)\;=\;1\quad {\text{dla kazdego}}\quad z\quad {\text{oraz dla kazdego}}\quad k}$

${\displaystyle {\text{dn}}^{2}(z,k)+k^{2}{\text{sn}}^{2}(z,k)\;=\;1\quad {\text{dla kazdego}}\quad z\quad {\text{oraz dla kazdego}}\quad k}$

${\displaystyle {\text{sn}}(x,0)\;=\;\sin x}$

${\displaystyle {\text{cn}}(x,0)\;=\;\cos x}$

${\displaystyle {\text{dn}}(x,0)\;=\;1}$

${\displaystyle {\text{sn}}(x,1)\;=\;\sinh x}$

${\displaystyle {\text{cn}}(x,1)\;=\;{\text{sech }}x}$

${\displaystyle {\text{sn}}(0,k)\;=\;0}$

${\displaystyle {\text{cn}}(0,k)\;=\;1}$

${\displaystyle {\text{dn}}(0,k)\;=\;1}$

Pochodne podstawowych funkcji amplitudy

Pochodne funkcji amplitudy wyrażają się wzorami:

${\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}z}}\,{\text{sn}}\,(z)={\text{cn}}\,(z)\,{\text{dn}}\,(z),}$

${\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}z}}\,{\text{cn}}\,(z)=-{\text{sn}}\,(z)\,{\text{dn}}\,(z),}$

${\displaystyle {\frac {\text{d}}{{\text{d}}z}}\,{\text{dn}}\,(z)=-k^{2}{\text{sn}}\,(z)\,{\text{cn}}\,(z).}$

Równania różniczkowe dla funkcji amplitudy

Dla argumentów rzeczywistych ${\displaystyle x}$ oraz ${\displaystyle 0\leqslant k\leqslant 1}$

• Funkcja ${\displaystyle {\text{sn}}\,(x,k)}$ spełnia następujące nieliniowe równania różniczkowe:

${\displaystyle {\frac {{\text{d}}^{2}f}{{\text{d}}x^{2}}}+(1+k^{2})f-2k^{2}f^{3}=0}$

oraz

${\displaystyle \left({\frac {{\text{d}}f}{{\text{d}}x}}\right)^{2}=(1-f^{2})(1-k^{2}f^{2}).}$

• Funkcja ${\displaystyle {\text{cn}}\,(x,k)}$ spełnia następujące nieliniowe równania różniczkowe:

${\displaystyle {\frac {{\text{d}}^{2}f}{{\text{d}}x^{2}}}+(1-2k^{2})f+2k^{2}f^{3}=0}$

oraz

${\displaystyle \left({\frac {{\text{d}}f}{{\text{d}}x}}\right)^{2}=(1-f^{2})(1-k^{2}+k^{2}f^{2}).}$

• Funkcja ${\displaystyle {\text{dn}}\,(x,k)}$ spełnia następujące nieliniowe równania różniczkowe:

${\displaystyle {\frac {{\text{d}}^{2}f}{{\text{d}}x^{2}}}-(2-k^{2})f+2f^{3}=0}$

oraz

${\displaystyle \left({\frac {{\text{d}}f}{{\text{d}}x}}\right)^{2}=(f^{2}-1)(1-k^{2}-f^{2}).}$

Wzory na funkcje amplitudy sumy argumentów

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{cn}}(x+y)&={\frac {{\text{cn}}(x)\;{\text{cn}}(y)-{\text{sn}}(x)\;{\text{sn}}(y)\;{\text{dn}}(x)\;{\text{dn}}(y)}{1-k^{2}\;{\text{sn}}^{2}(x)\;{\text{sn}}^{2}(y)}},\\[8pt]{\text{sn}}(x+y)&={\frac {{\text{sn}}(x)\;{\text{cn}}(y)\;{\text{dn}}(y)+{\text{sn}}(y)\;{\text{cn}}(x)\;{\text{dn}}(x)}{1-k^{2}\;{\text{sn}}^{2}(x)\;{\text{sn}}^{2}(y)}},\\[8pt]{\text{dn}}(x+y)&={\frac {{\text{dn}}(x)\;{\text{dn}}(y)-k^{2}\;{\text{sn}}(x)\;{\text{sn}}(y)\;{\text{cn}}(x)\;{\text{cn}}(y)}{1-k^{2}\;{\text{sn}}^{2}(x)\;{\text{sn}}^{2}(y)}}.\end{aligned}}}$

Łatwo zauważyć, że dla ${\displaystyle k=0}$ dwa pierwsze z powyższych wzorów przechodzą w znane z klasycznej trygonometrii wzory na sinus i cosinus sumy kątów.

Literatura

W języku polskim:

• G. A. Korn, T. M. Korn, Matematyka dla pracowników naukowych i inżynierów, cz. 2, PWN, Warszawa 1983

W języku angielskim:

• C.G.J. Jacobi: Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum, Königsberg (1829).
• C. Briot, J.C. Bouquet: Théorie des fonctions elliptiques, Gauthier Villars, Paris (1875).
• G.H. Halphen: Traité des fonctions elliptiques et de leurs applications, tome 1–4, Gauthier Villars, Paris (1886–1891).
• J. Tannery, J. Molk: Eléments de la théorie des fonctions elliptiques, tome 1 Introduction. Calcul différentiel. Ire partie, tome 2 Calcul différentiel. IIe partie, tome 3 Calcul intégral. Ire partie, Théorèmes généraux. Inversion, tome 4 Calcul intégral. IIe partie, Applications, Gauthier Villars, Paris (1893).
• H. Hancock: Lectures on the Theory of Elliptic Functions, J.Wiley&sons, New York (1910).
• A.C. Dixon: The Elementary Properties of the Elliptic Functions, with Examples, Macmillan (1894).
• P. Appell, E. Lacour: Principes de la théorie des fonctions elliptiques et applications, Gauthier Villars, Paris (1897).
• A.G. Greenhill: The applications of elliptic functions, Macmillan, London – New York (1892).
• N.I. Akhiezer: Elementy teorii eliptitcheskikh funkcyi, Moskava (1970).
• E.T. Whittaker, G.N. Watson: A Course of Modern Analysis, Cambridge (1996).
• G.A. Korn, T.M. Korn: Mathematical Handbook for Scientific Workers and Engineers.
• M. Abramowitz, I.A. Stegun [Editors]: Jacobian Elliptic Functions and Theta Functions, chapter 16 in Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing, Dover, New York (1972).