Element całkowity – uogólnienie pojęcia elementu algebraicznego na pierścienie całkowite.

Definicja

Niech ${\displaystyle P,R}$ będą pierścieniami całkowitymi oraz ${\displaystyle P\subseteq R.}$ Element ${\displaystyle a\in R}$ nazywamy całkowitym nad ${\displaystyle P}$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian unormowany ${\displaystyle f\in P[x]}$ taki, że ${\displaystyle f(a)=0.}$

Zbiór wszystkich elementów całkowitych pierścienia ${\displaystyle R}$ nad ${\displaystyle P}$ oznaczamy ${\displaystyle C_{R}(P).}$

Liczbę algebraiczną nazywamy liczbą algebraiczną całkowitą wtedy i tylko wtedy, gdy jest całkowita nad ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$

Liczby algebraiczne całkowite

Jeśli ${\displaystyle d\neq 1}$ jest bezkwadratową liczbą całkowitą, to

${\displaystyle C_{\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}(\mathbb {Z} )=\left\{{\begin{array}{l}\mathbb {Z} [{\sqrt {d}}],\;d\equiv 2(\operatorname {mod} \,4)\vee d\equiv 3(\operatorname {mod} \,4)\\\mathbb {Z} [{\tfrac {1+{\sqrt {d}}}{2}}],\;d\equiv 1(\operatorname {mod} \,4)\end{array}}\right..}$