Formuła 3

Clivio karierę rozpoczął w roku 1997, od startów w kartingu. Największym sukcesem Piccione było zdobycie tytułu wicemistrza świata w sezonie 2000. W 2001 roku zadebiutował w Brytyjskiej Formule Ford (32. miejsce). W kolejnym sezonie awansował do Brytyjskiej Formuły 3. Będąc liczonym do klasyfikacji "National", sięgnął po tytuł wicemistrzowski (reprezentował ekipę T-Sport).

W roku 2003 brał udział w głównym cyklu tej serii. Reprezentując Manor Motorsport, zmagania zakończył na 11. pozycji. W kolejnym sezonie startował w barwach Carlina. Stanąwszy sześciokrotnie na podium (z czego dwukrotnie na najwyższym stopniu), został sklasyfikowany na 4. lokacie.

Z brytyjskim zespołem osiągnął również wielki sukces, w postaci drugiego miejsca w Pucharze Europy Formuły 3. W tym samym roku wziął udział również w jednej rundzie Porsche Supercup. Nie zdobył jednak punktów. W latach 2002-2003 Monakijczyk wystartował w prestiżowym wyścigu Masters of Formuła 3. W obu przypadkach rywalizację ukończył jednak na odległym 19. miejscu.

Seria GP2

W sezonie 2005 Clivio podpisał kontrakt z włoskim zespołem Durango, na starty w bezpośrednim przedsionku Formuły 1 – serii GP2. Po punkty sięgał pięciokrotnie, odnosząc przy tym jedno zwycięstwo. Sukces miał miejsce w drugim wyścigu, na niemieckim torze Nürburgring. Ostatecznie został sklasyfikowany na 15. miejscu.

W drugim roku startów reprezentował brytyjską stajnię DPR Direxiv. W ciągu sezonu Monakijczyk wielokrotnie nie dojeżdżał do mety (wszak ukończył tylko dziesięć z dwudziestu jeden wyścigów). Punktował jednak w sześciu wyścigach, dwukrotnie przy tym stając na najniższym stopniu podium (w niedzielnych zmaganiach, w Niemczech oraz we Włoszech). W ostatecznej klasyfikacji zajął 12. lokatę.

Formuła Renault 3.5

W roku 2007 Piccione związał się z włoską ekipą RC Motorsport, w celu startów w Formule Renault 3.5. W ciągu siedemnastu wyścigów, Clivio pięciokrotnie dojeżdżał na punktowanych lokatach, stając przy dwukrotnie na podium (sięgnął również po pole position, na francuskim obiekcie Magny-Cours). Uzyskane punkty pozwoliły Monakijczykowi zająć 15. lokatę w końcowej klasyfikacji.

Euroseria 3000

W roku 2008 Monakijczyk brał udział w serii EuroBOSS. Na koniec sezonu został w niej sklasyfikowany na 18. miejscu. Clivio wystartował również w jednej rundzie Euroserii 3000. Zdobyte punkty pozwoliły mu zająć w generalnej klasyfikacji 11. pozycję (we włoskim cyklu był dziesiąty). Rok później ponownie wziął udział w jednej eliminacji. Uzyskane punkty tym razem dały mu 12. lokatę.

A1 Grand Prix

W przerwie pomiędzy sezonem 2008 i 2009 Piccione zadebiutował w serii A1 Grand Prix. Wystąpiwszy w czternastu wyścigach, przyczynił się zajęcia przez jego narodową ekipę 9. miejsca, w ogólnej punktacji.

Wyścigi GT

W 2010 roku Monakijczyk brał udział w wyścigach samochodów sportowych – FIA GT oraz francuskich mistrzostwach tej kategorii. Startując w barwach ekipy Hexis AMR, w pierwszej z nich zmagania zakończył na 14. pozycji, natomiast w drugiej nie został sklasyfikowany.